第3讲_行列式的降价处理-按行列展开

行列式第1节矩阵概念的引入第2节排列及其奇偶性第3节行列式的定义第4节行列式的简单使用与对角线法则第5节行列式的计算与性质第6节行列式的降价处理：按行列展开第6节行列式的降价处理：按行、列展开降阶、降级处理是数学处理的基本思路之一。对n阶行列式也可使用这一思路：将n阶行列式变成n-1阶行列式进行处理，从而可层层降阶到低阶行列式进行处理，这便是行列式的按行或按列展开。一特殊行列式的降阶处理二一般行列式的按行、按列展开三特殊行列式的计算例：证明(降阶处理)左端＝＝＝＝右端一特殊行列式的降阶处理更一般地，如下行列式能否降阶处理？又因综上，有二一般行列式的按行展开其中上面分析表明，一般n阶行列式可按某行展开成该行元素与其代数余子式的积的和的形式：此行列式相当于在行列式又因代数余子式可降阶为如下形式(相等或符号相反)综合前述知识知，Aij与Mij的有如下关系即Aij可通过计算一个n-1阶行列式得到。下式表明了行列式可降阶处理。称上式为行列式的按第i行展开式。(i=1,2,…,n)按第j列展开行列式＝？行列式的按行、列展开式表明行列式=某一行的元素分别与各自代数余子式的乘积之和对行列式d?当k=i时，是d按第i行的展开，仍为d；当k≠i时,则表示的是d的第k行元素与另一行元素的代数余子式相乘。其结果是否仍为d?例，已知行列式＝例：当k≠i时,不妨设ik，则＝0.定理：设例：计算行列式问题：与化三角行列式相比，计算量有否变化？例：计算＝问题：与化三角行列式相比，计算量有否变化？注意行列式按行、列进行展开的着眼点不在于减少计算量，而在于其理论意义。当然在手算具体确定的行列式时，当行列式的某些行与列有大多数0时，能有效化简计算，但这种做法却没有通用性。三特殊行列式的计算(n-1行乘-a1加到第n行；n-2行乘-a1加到第n-1行，余类推)1范德蒙德行列式(上边最后一式右边又是一个n-1级的范德蒙德行列式)从而有（归纳证明），2结论可借助矩阵的按行、列展开用数学归纳法给予严格证明.从而等式右侧＝＝等式右端。＝