一元一次方程总结

1一元一次方程济宁学院附中李涛1.等式与方程（1）等式：含有等号的式子叫做等式.基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式的值不变。符号语言若a=b那么a+c=b+c基本性质2：式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变。符号语言若a=b那么有a·c=b·c或a/c=b/c（c≠0）说明：①此外等式还有，（3）对称性若a=b,则b=a。(4)传递性若a=b,b=c则a=c②拓展1：等式两边取相反数，结果仍相等。拓展2：等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等。如果a=b≠0，那么1/a=1/b③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质。如移项，运用了等式的性质1；去分母，运用了等式的性质2。④运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义。（2）方程：含有未知数的等式叫做方程。说明：①⒈方程中一定有含一个或一个以上未知数；2.方程是等式，两者缺一不可。②未知数：通常设x.y.z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以。未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程。一道题中设两个方程未知数不能一样！③“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项。而次数最高的项，就是方程的次数。未知数次数最高是几就叫几次方程。④方程有整式方程和分式方程。整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.一元一次方程（1）一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程的一般形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。注意：（1）该方程为整式方程。（2）该方程有且只含有一个未知数。（3）该方程中未知数的最高次数是1。（4）化简后未知数的系数不为0如2x-1=2x，它不是一元一次方程；（5）未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如xx31，它不是一元一次方程。如果a=b，那么-a=-b2（2）一元一次方程的解法1.方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.逆向思维----代入法2.解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程。3.移项：定义从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项。说明：①移项标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项。移项一定改变符号，不移项的不变。②移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；③移项的作用原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解。4.解一元一次方程的一般步骤及根据：1.去分母——等式的性质22.去括号——分配律3.移项——等式的性质14.合并——合并同类项法则5.系数化为1——等式的性质26.验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（在草纸上）5.一般方法：（1）去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数。（2）去括号，般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。本质就是根据乘法分配律。（3）移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样：（比方）从5x=4x+8得到5x-4x=8；把未知数移到一起！（4）合并同类项，并的是系数，将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。（5）系数化1，两边都乘以未知数的系数的倒数。（6）检验，用代入法，在草纸上算。重点一次方程的注意点：对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式，特点，灵活变化解题步骤。（1）分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数,局部变形；（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，①此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘②分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；（4）移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；（5）系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；打草认真计算。（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。（7）分、小数运算时不能嫌麻烦。（8）不要跳步，一步步仔细算。补充：分数的基本性质：与等式基本性质2不同。分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变。3（3）一元一次方程的应用1.解决实际应用题的策略：（1）审题，就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考。找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系。审题往往伴随下个步骤。（2）设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量。（3）找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程。2.分析问题方法：（1）文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系（2）表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系（3）示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系3.设未知量方法：一个应用题,往往涉及到几个未知量,为了利用一元一次方程来解应用题,我们总是设其中一个未知量为x,并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量,然后列出方程。（1）设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系。（2）有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量4.找等量关系方法：“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种。数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系。（1）标关键词语，抓住关键句子确定等量关系。（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系。（2）紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系。（比如体积公式，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等。这些常见的基本数量关系，就是等量关系）（3）通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系。就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系。（4）借助线段图确定等量关系。线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化。对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系。45.列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点：（1）“审”要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系。（2）“设”设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号。（3）“列”根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位统一，用原数；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一个条件会得到恒等式，解不出来。若原方程复杂，可多写一步原方程可化简为：（4）“解”解出方程，一定在草纸上一步步认真算，先化简往往会简化计算。（5）“验”检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是否符合实际情况。（6）“答”写出答案，一定要答完整，有单位要加单位。6.解应用题关键：根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系(这是关键一步)．就是抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。7.解应用题核心：就是设出适当未知量，根据关系表示出其它量，表示出等量关系中的个个部分，从而列出方程。8.实际问题的常见类型：基本量，基本关系，等量关系（1）“和、差、倍、分类问题”弄清和谁比，比谁多，比谁少增长量=原有量×增长率现有量=原有量+增长量（2“等积变形问题”锻造前的体积=锻造后的体积长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；（3）“打折利润问题”利润是和成本比的利润=售价-进价，利润率=进价利润，售价=标价×折扣（4）“行程问题”（相遇问题和追及问题）路程=时间×速度，时间=速度路程，速度=时间路程（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）(5)“销售问题”总价=单价×数量总钱数=各部分钱数和（6）“利率（息）问题”本息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间（期数）（7）“工程问题”工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和（8）数字问题（包括日历中数字规律）（9）比例分配问题（10）调配问题注意：应用题分类只是帮助同学们理解记忆，切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法，要培养分析问题解决问题的能力，掌握列方程解应用题的一般方法。