数列在日常经济生活中的应用

§4数列在日常经济生活中的应用1.掌握单利、复利的概念及它们本利和的计算公式．2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付款模型的应用．1.单利与复利本利和的计算是本节课考查的重点．2.常与生活中的存款、分期付款等结合命题．3.三种考查方式均有可能呈现，属中低档题.1．等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，前n项和公式Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1当q＝1时，前n项和Sn＝na1；当q≠1时，前n项和Sn＝a11－qn1－q或Sn＝a1－anq1－q.3．有一位大学毕业生到一家私营企业去工作，试用期过后，老板对这位大学生很赞赏，有意留下他，便给出两种薪酬方案供他选择：其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为20元，以后每个月的工资是上个月的2倍．如果你是这位毕业生，并且也想在该企业继续工作，你会如何选择呢？1．单利与复利(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有S＝(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是.P(1＋nr)．S＝p(1＋r)n2．三种应用模型(1)“零存整取”模型每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．(2)“定期自动转存”模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．(3)“分期付款”模型“分期付款”是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限按照一定的要求，分期付清，每期付款金额相同．1．某钢厂的年产值由1998年的40万吨，增加到2008年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2018年的年产值将接近()A．60万吨B．61万吨C．63万吨D．64万吨答案：C解析：设年增长率为x，则2008年为：40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝54.2018年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2＝40×54×54＝62.5≈63(万吨)．2．按活期存入银行1000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是()A．1036元B．1028元C．1043元D．1026元解析：第五年末的本利和是1000＋1000×0.72%×5＝1000＋36＝1036.答案：A3．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为at，由此预测，该区2011年的垃圾量为________t，2015年的垃圾量为________t.解析：由于2010年的垃圾量为at，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝a(1＋b)t，同理可知2012年的垃圾量为a(1＋b)2t，…，2015年的垃圾量为a(1＋b)5t.答案：a(1＋b)a(1＋b)54．某企业2010年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2010年度的产值月平均的增长率为________．解析：设2010年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1＋r)11＝pa，∴r＝11p－1.答案：11p－1.5．某人从1月起，每月1日存入银行100元，到12月31日取出全部本金及其利息，已知月利率为0.165%，若不计复利，那么他实际取出多少钱？(不计利息税)解析：实际取出的钱等于本金＋利息，这里关键是求利息．由于每期存入的钱到最后取钱时的存期是不一样的，因此每期存入的钱到最后取钱时，利息是不一样的．第1月存款利息：100×12×0.165%，第2月存款利息：100×11×0.165%，…第11月存款利息：100×2×0.165%，第12月存款利息：100×1×0.165%.于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和：S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165%＝100×0.165%(1＋2＋3＋…＋12)＝100×0.165%×12×132＝12.87.实际取出：100×12＋12.87＝1212.87(元)．用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？每次付款数构成数列{an}―→求a1，a2，a3―→找出规律求an―→判断{an}是等差数列―→求a5，S10[解题过程]购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝4－n－15(万元)(n＝1,2，…，10)．因而数列{an}是首项为4，公差为－15的等差数列．a5＝4－5－15＝3.2(万元)．S10＝10×4＋10×10－1×－152＝31(万元)．因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．[题后感悟]与数列相关的应用问题，可通过求前几项a1，a2，a3，找出求an的规律，从而写出an；在求a1，a2，a3时，不只要求出具体值，更要注重其内部结构规律的呈现．1．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少？解析：设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数n成等差数列，设该数列为{an}，an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18，当购买台数小于18时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于或等于18时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元，作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，所以，当n＜10时，600n＜(800－20n)n；当n＝10时，600n＝(800－20n)n；当10＜n18时，(800－20n)n＜600n；当n≥18时，440n＜600n.所以当购买台数少于10台时，购买到乙商场花费较少；当购买10台时，到两商场购买花费相同；当购买多于10台时，到甲商场购买花费较少．随着农村经济的发展，农民进城购房已成为时尚，某房地产公司为了鼓励农民购买自己的商品房，采取了较为灵活的付款方式，对购买10万元一套的住房在一年内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款方式购房：方案一：分3次付清，购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款．方案二：分12次付清，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，再过1个月第3次付款，……，购买后12个月第12次付款．规定分期付款中，每期付款额相同，月利率为0.8%，每月利息按复利计算，即指上月利息要记入下月本金．试比较以上两种方案中哪一种方案付款总额较少？注：计算结果保留四位有效数字．可利用等量关系：付清后买卖双方的本息款额相等．[解题过程]对于方案一，设每次付款额为x1万元，第一次付款的本利和为1.0088x1万元，第二次付款的本利和为1.0084x1万元，第三次付款的本金为x1万元(第三次付款不产生利息)，则1.0088x1＋1.0084x1＋x1＝10×1.00812，付款总额为3×3.552≈10.66万元．∴x1·1.00843－11.0084－1＝10×1.00812，∴x1＝10×1.00812×1.0084－11.00812－1≈3.552(万元)．付款总额为12×0.8773≈10.53(万元)＜10.66(万元)，所以第二种方案付款总额较少．对于方案二，设每次付款额为x2万元，那么一年后，第一次付款的本利和为1.00811x2万元，第二次付款的本利和为1.00810x2万元，……，第12次付款的本金为x2万元．则1.00811x2＋…＋1.008x2＋x2＝10×1.00812，∴x2·1.00812－11.008－1＝10×1.00812，∴x2＝10×1.00812×0.0081.00812－1≈10×1.1×0.080.1＝0.8773(万元)．[题后感悟]分期付款问题，其关键是将现实问题转化为数列问题，化归为等比数列或等差数列求和．在建立数学模型时，应抓住数量关系，联想数学方法适当引入参变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表示．2．某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款1次，共付12次，购买后一年还清，约定月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？解析：设每期应付款x元，则第1期付款以及到最后一次付款时所生利息为x(1＋0.008)11元；第2期付款以及到最后一次付款时所生利息为x(1＋0.008)10元；……；第12期付款(无利息)为x元，所以各期付款连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝1.00812－11.008－1x(元)又所购电器的现价及其利息之和为2000×1.00812元，于是有1.00812－11.008－1x＝2000×1.00812.解得x＝16×1.008121.00812－1≈175(元)．即每期应付款175元．某企业投资1000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)设出数列{an}后，先由题意确定an＋1与an间的关系，再进一步求解．[解题过程]设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an.则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N＋)．即an＋1＝54an－200.令an＋1－x＝54(an－x)，即an＋1＝54an－x4，由x4＝200，∴x＝800.∴an＋1－800＝54(an－800)(n∈N＋)故数列{an－800}是以a1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050.∴a1－800＝250，∴an－800＝25054n－1.∴an＝800＋25054n－1(n∈N＋)．由题意an≥4000.∴800＋25054n－1≥4000，即54n≥16.两边取常用对数得nlg54≥lg16，即n(1－3lg2)≥4lg2.∵lg2＝0.3，∴0.1n≥1.2，∴n≥12.即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．[题后感悟]如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．3．某林区改变植树计划，第一年植树增长率200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的12.(1)假设成活率为100%，经过四年后，林区的树木量是原来树木量的多少倍？(2)如果每年都有5%的树木死亡，那么经过多少年后，林区的树木量开始下降？解析：(1)设林区原有树木量为a，调整计划后，第n年的树木量为an(n＝1,2,3，…)，则a1＝a(1＋200%)＝3a，a2＝a1(1＋