61导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

1导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|0xx。即f（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数2（1）函数f（x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x在x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f’(x0)=xyx0lim。二、导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。三、几种常见函数的导数①0;C②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxex.四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)'''vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uvvuuv若C为常数,则'''''0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''CuCu法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu‘=2''vuvvu（v0）。形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|x=y＇|u·u＇|x五、导数应用1、单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，3如果'f)(x0，则)(xf为增函数；如果'f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数；2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ(x)在(a，b)内的极值；②求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4．定积分(1)概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝nif1＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(＝ninf1lim(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0＝C；dxxm＝111mxm＋C（m∈Q，m≠－1）；x1dx＝lnx＋C；dxex＝xe＋C；dxax＝aaxln＋C；xdxcos＝sinx＋C；xdxsin＝－cosx＋C（表中C均为常数）。(2)定积分的性质①babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；②bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；③bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中a＜c＜b)。(3)定积分求曲边梯形面积4由三条直线x＝a，x＝b(ab)，x轴及一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（ab）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝babadxxfdxxf)()(21。【经典例题】【例1】（2012广东）曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程：。【解析】先对函数y=x3-x+3求导，得：y=3x2-1。代入点(1,3)求出斜率，k=2。设切线方程为y-3=2(x-1)，得切线方程为：y=2x+1。【例2】（2012辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A的纵坐标为。【解析】抛物线变形为：y=21x2。求导y,=x。代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：4，-2。点P，Q两点坐标为(4,8)，(-2,2)。得出两切线为：y=4x-8，y=-2x-2。两直线交点为(1,-4)。所以交点的纵坐标为-4。【例3】（2011课标）已知函数f(x)=xbxaInx1，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。(1)求a，b的值；(2)如果当x0，且x≠1时，f(x)xkxInx1，求k的取值范围。【解析】(1)f,(x)=22)1()1(xbxInxxxa由于直线x+2y-3=0的斜率为21，且过点(1,1)，故即解得a=1，b=1。(2)由（1）知ln11xxx，所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx。考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx。(i)设0k，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx。而(1)0h，故当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；当x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）0f(x)=1f,(1)=21b=1ba2=215从而当x0,且x1时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即f（x）1lnxx+xk.（ii）设0k1.由于当x（1，k11）时，（k-1）（x2+1）+2x0,故h’（x）0,而h（1）=0，故当x（1，k11）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时h’（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0].【例4】（2012山东）已知函数f(x)=xekxln（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行。（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g(x)=(x2+x)'()fx,其中'()fx为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，21)(exg。【解析】由f(x)=xekxln可得)(xfxexkxln1，而0)1(f，即01ek，解得1k；（Ⅱ）)(xfxexxln11，令0)(xf可得1x，当10x时，0ln11)(xxxf；当1x时，0ln11)(xxxf。于是)(xf在区间)1,0(内为增函数；在),1(内为减函数。（Ⅲ）xxexxxxexxxxxgln)(1ln11)()(222，当1x时，0,0,0ln,0122xexxxx，210)(exg.当10x时，要证22221ln)(1ln11)()(eexxxxexxxxxgxx。只需证2221()ln(1)xxxxxee，然后构造函数即可证明。【例5】（2012北京）已知函数2(1)()axfxx，其中0a.（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若直线10xy是曲线()yfx的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设2()ln()gxxxxfx，求()gx在区间[1,e]上的最大值.（其中e为自然对数的底数）6【解析】（Ⅰ）3(2)()axfxx，（0x），在区间(,0)和(2,)上，()0fx；在区间(0,2)上，()0fx.所以，()fx的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).（Ⅱ）设切点坐标为00(,)xy，则002000030(1)10(2)1axyxxyaxx解得01x，1a.（Ⅲ）()gxln(1)xxax，则()ln1gxxa解()0gx，得1eax，所以，在区间1(0,e)a上，()gx为递减函数，在区间1(e,)a上，()gx为递增函数.当1e1a，即01a时，在区间[1,e]上，()gx为递增函数，所以()gx最大值为(e)eegaa.当1eea，即2a时，在区间[1,e]上，()gx为递减函数，所以()gx最大值为(1)0g.当11eea，即12a时，()gx的最大值为(e)g和(1)g中较大者；(e)(1)ee0ggaa，解得ee1a，所以，e1e1a时，()gx最大值为(e)eegaa，e2e1a时，()gx最大值为(1)0g.综上所述，当e0e1a时，()gx最大值为(e)eegaa，当ee1a时，()gx的最大值为(1)0g.【例6】（2012重庆）已知函数3()fxaxbxc在2x处取得极值为16c(1)求a、b的值；(2)若()fx有极大值28,求()fx在[3,3]上的最大值。【解析】错误!未找到引用源。(Ⅰ)因3()fxaxbxc故2()3fxaxb由于()fx在点2x处取得极值故有(2)0(2)16ffc即1208216ababcc,化简得12048abab解得112ab(Ⅱ)由(Ⅰ)知3()12fxxxc,2()312fxx令()0fx，得122,2xx当(,2)x时,()0fx故()fx在(,2)上为增函数；当(2,2)x7时,()0fx故()fx在(2,2)上为减函数当(2,)x时()0fx，故()fx在(2,)上为增函数。由此可知()fx在12x处取得极大值(2)16fc，()fx在22x处取得极小