定积分的分部积分法(精)

二、定积分的分部积分法第三节不定积分机动目录上页下页返回结束一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法第五章一、定积分的换元法定理1.设函数单值函数满足:1),],[)(1Ct2)在],[上;)(,)(ba)(t)(t证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则)()(aFbF)]([F)]([F)(t)(t)(t)(t)(t机动目录上页下页返回结束则说明:1)当,即区间换为，时],[定理1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即))((tx令xxfbad)(或配元)(t)(dt配元不换限)(t)(t机动目录上页下页返回结束)(t)(t)(t)(t例1.计算解:令,sintax则,dcosdttax;0,0tx时当.,2tax时∴原式=2attad)2cos1(2202)2sin21(22tta0220ttdcos222xayxoya机动目录上页下页返回结束且例2.计算解:令,12xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t∴原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt13;1t机动目录上页下页返回结束且例3.证:(1)若aaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)((2)若0d)(aaxxf则xxfad)(0xxfad)(0ttfad)(0xxfad)(0xxfxfad])()([0时)()(xfxf时)()(xfxf偶倍奇零机动目录上页下页返回结束tx令二、定积分的分部积分法定理2.,],[)(,)(1baCxvxu设则ab证:)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(机动目录上页下页返回结束上积分两端在],[ba例4.计算解:原式=xxarcsin021210xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221)1(2x02112231机动目录上页下页返回结束20dcosttn20dcosxxn例5.证明证:令,22143231nnnnn为偶数n为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令则,cossin)1(2xxnunxvcos]sincos[1xxInn022022dcossin)1(xxxnn0机动目录上页下页返回结束2022dcossin)1(xxxnInn2022d)sin1(sin)1(xxxnn2)1(nIn由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,2201dsinxxI1故所证结论成立.0I1I机动目录上页下页返回结束22mI2232mm42mI214312mI1222mm32mI3254内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限机动目录上页下页返回结束思考与练习1.提示:令,txu________d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100u100sinx100sin2.设解法1)(3xf解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得机动目录上页下页返回结束得3.设求解:(分部积分)机动目录上页下页返回结束作业P2491(4),(10),(16);6;11(4),(9),(10)习题课目录上页下页返回结束备用题1.证明证：是以为周期的函数.tu令是以为周期的周期函数.机动目录上页下页返回结束解：2.右端,],[)(上有连续的二阶导数在设baxf)(af且试证baxfbxax)(d))((21abxfbxax)())((21xbaxxfbad)2)((21分部积分积分再次分部积分xxfbad)(abxfbax)()2(21=左端机动目录上页下页返回结束,0)(bf