定积分的定义和性质

第五章定积分及其应用本章内容第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的计算第四节广义积分第五节定积分在几何上的应用第六节定积分在物理上的应用第五章第一节定积分的概念与性质本节主要内容一、定积分的定义三、定积分的几何意义二、可积函数类四、定积分的性质引例1求右图中曲边梯形的面积。bxaxxfy，直线由曲线),(梯形。所围成的图形称为曲边及0y)(ba思路：将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，用小矩形的面积近似小曲边梯形的面积。oxyab))((0xfy曲边梯形曲边梯形如图所示，内插入若干个分点，在区间],[ba，个小区间分成把区间],[],[iixxnba1，上任取一点在每个小区间iiixx],[1iiixfA)()(],[iiifxx为底，以1,bxxxxxann1210;1iiixxx记iniixfA)(1则曲边梯形面积为高的小矩形面积为oxyab1x2x1ixix1nxi)(if))((0xfy。iniixfA)(lim10即小区间的最大长度当分割无限加细,曲边梯形面积为},,max{nxxx21时，趋近于零)(0引例2（求变速直线运动的路程）思路：上)(tvv],[21TTt，0)(tv设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔求物体在这段时间内所经过的路程。的一个连续函数，且度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。把整段时间分割成若干小段，每小段上速（1）分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值（3）求和iinitvs)(1（4）取极限。其中},,,max{nttt21iniitvs)(lim10路程的精确值（2）取近似路程的近似值求曲边梯形的面积。iniixfA)(lim10求直线运动的路程。iniitvs)(lim10bxxxxxann1210一点i（iix），一、定积分的定义定义上有界，在设函数],)(baxf[若干个分点个小区间，分成把区间nba],[次记为1iiixxx),2,1(i在各小区间任取iixf)(作乘积),2,1(i，记并作和数iininxf)(1},,,max{nxxx21上如何分割，也无论在若无论对],[],[iixxba1如何选取，对i上的定积分，记为在并把该极限值称为上是可积的，在都存在且相等，则称],[],[lim0bafbafn各小区间的长度依中任意插入在],[baniiibanxfdxxf100。)(limlim)(符号名称)(xfdxxf)(x],[baab积分号被积函数被积表达式积分变量积分区间积分下限积分上限几点说明：1、两个任意性：积分值与区间的分割方法以及ξi的选取方法无关；2、定积分的值只决定于被积函数和积分区一个结论：当能够判定定积分存在时，可采用特殊的间，因而与积分变量的写法无关；分割方法和对ξi的特殊取法，通过定义求积分值。即babadttfdxxf)()(3、定积分的本质二、可积函数类],[)(],[)(baxfbaxf在上连续，则在若函数定理1定理2上有界，且只有有限个在若函数],[)(baxf定理3)(],[)(xfbaxf上单调有界，则在若函数上可积。在断点，则],[)(baxf第一类间上可积。在],[ba上可积。xyabo,)(时、当01xfbadxxf)(=曲边梯形的面积；,)(时、当02xfbadxxf)(=曲边梯形的面积的负值；三、定积分的几何意义AAAAxyo)(xfyba)(xfy4321AAAAdxxfba)(3、一般情况下ab1A轴及两条图形函数是介于xxfdxxfba,)()(2A3A4A数和。之间的各部分面积的代直线bxax,轴下方的面在轴上方的面积取正号；在xx积取负号。0)(.4aadxxff为奇函数，则若aaadxxfdxxff0)(2)(为偶函数，则若RdxxR022。计算利用定积分的几何意义例1根据定积分的几何意义知，此定积分是以R为解：RRdxxR02224。OYX22xRyR半径的圆面积的四分之一故例220xdxsin计算解：由定积分的几何意义知。200xdxsinoYX2ππxysin+－练习20xdx计算223dxx计算.0)(,0)(,0)(],[)(2)()())(()2(;)(321xfxfxfbaabbfafSabbfSdxxfSba上，且在比较大小：例利用定义计算定积分。dxx102解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iix，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21,12iniixxnnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nn，n0dxx102iinix210limnnn121161lim。31证明.)()2()1(lim]1,0[)(10)(lndxxfnnennfnfnfxf：上连续，且取正值，证在设函数111lim().12nnnnn用定积分求极限（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(。在下面的讨论中，假定定积分都存在，且不四、定积分的性质两个补充规定说明：证：badxxkf)(iiniλxkf)(lim10iiniλxfk)(lim10iiniλxfk)(lim10.)(badxxfk性质1(k为常数)。babadxxfkdxxkf)()(考虑积分上下限的大小，有特殊规定除外。证:badxxgxf)]()([iiiniλxgf)]()([lim10iiniλxf)(lim10iiniλxg)(lim10badxxf)(。badxxg)(（此性质可以推广到有限多个函数之和的情况）性质2badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.说明：不论的相对位置如何,上式总成立。cba,,例如:若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(。bccadxxfdxxf)()(（定积分对于积分区间具有可加性）则性质312dxx如：.1002xdxxdxdxba1dxbaab。则0)(dxxfba)(ba。证:,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10。badxxf0)(性质4性质5若在区间],[ba上0)(xf，ab1说明什么？若,0)()2(badxxf0)(),(fba注意（1）反之不对推论：证:),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(。则dxxfba)(dxxgba)()(ba。如果在区间],[ba上)()(xgxf，补充.0)()(0)(],[)()1(badxxfxfxfbaxf零，则不恒为且上连续，若在.0)(0)(],[)()2(xfdxxfbaxfba则，上连续非负，且在若例比较积分值dxex20和dxx20的大小。解：令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20。dxx20dxxfba)(dxxfba)(。)(ba证:，)()()(xfxfxf，dxxfdxxfdxxfbababa)()()(即dxxfba)(dxxfba)(。性质6设M及m分别是函数证:,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm。)()()(abMdxxfabmba注：此性质可用于估计积分值的大致范围。)(xf在区间],[ba上性质7的最大值及最小值，则。)()()(abMdxxfabmba估值不等式例估计积分dxx03sin31的值。解：,sin)(xxf331],,0[x,sin4333x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx。331403dxxsin例估计积分dxxx24sin的值。解：,sin)(xxxf设2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx]2,4[x,0)(xf在]2,4[上单调下降,故4x为最大点，2x为最小点,，224)(fM，22)(fm，442ab，4224224dxxxsin。222124dxxxsin如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证：，Mdxxfabmba)(1，)()()(abMdxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理知性质8（积分中值定理）则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf。。)(ba即，使][a,b区间上的最大最小值，在分别是，设],)(baxfmM[))(()(abfdxxfba。)(ba在区间],[ba上至少存在积分中值公式的几何解释：使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。注意：定理中函数在[a,b]区间oXYab)(f上连续的条件不能减弱，若被积函数不连续，则结论可能不成立。，一点例设)(xf连续，且1)(limxfx，解：由积分中值定理知有],2,[xx使dttfttxx23)(sin),)((sinxxf23dttfttxxx23)(sinlim)(sinlimf32)(limf32。6，时，当x。求dttfttxxx23)(sinlim,0)(],[)(),(xgbaxgxf上连续，且在设函数例,)(],[)(),(0xgbaxgxf上连续，及在证明：由,],[)(mMbaxf与最小值上有最大值在)()()()(,)(xMgxgxfxmgMxfmbababadxxgMdxxgxfdxxgm)()()()(性质，证明存在一点利用区间上连续函数的。使得babadxxgfdxxgxfba)()()()(],,[Mdxxgdxxgxfmbaba)()()(使得上连续，在由],[],[)(babaxfbabadxxgdxxgxf)()()(。即babadxxgfdxxgxf)()()()()(f.0)(:,0)(],[badxxfbaxfbaCf