定积分的应用(体积、旋转体的侧面积)

1例1.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.)cos1(tadA解:ttad)cos1(ttad)cos1(2022ttad2sin42042)2(tu令uuadsin8042uuadsin16204223a20Axyoa222coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a例2.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,2221aA2221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa3a2sin2a例3.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,d2cos212a402a)2(d2cos则所求面积为2a思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2ar所围公共部分的面积.2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案:设有一立体位于平面)(,babxax之间，已知它被过点)0,0,(x)(bxa且垂直轴于x的平面所截得的截面面)(xA积为，假定xxA)(是的连续函数，求V的体积立体。（一）平行截面面积为已知的立体的体积二、体积xabx)(xA即体积微元dxxAdV)(，所求体积为badxxAV)(。取x为积分变量，积分区间为],[ba。在],[ba上任取一代表小区间],[dxxx，对应的立体中一薄片的V体积近似等于底面积)(xA为，dx高为的柱体的体积dxxA)(，xabx)(xA],[RRx，用过点轴且垂直于xx的平面去截楔形，截得的截面是直角三角形，则底圆的方程为222Ryx。解：如图建立坐标系，故截面积为tan)(21tan21)(22xRyyxA，.tan32tan)(21)(322RdxxRdxxAVRRRR而与底面交成的平面所截，求截得的圆柱楔的体积。例1．设有半径为R的正圆柱体，被通过其底的直径xyoRRytanyx7xyoabxyoab)(xfy特别,当考虑连续曲线段2)]([xf轴旋转一周围成的立体体积时,有xdbaV当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2)]([yyddcVxxoy)(yxcdy(二)旋转体的体积8ayxb例2计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xyd2x9方法2利用椭圆参数方程则xyVad202ttabdsin23222ab32234ab1特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.343a解：如图选择坐标系，母线AB的方程为)(0221rxrrhy221ryhrrxdyryhrrdyxVhh2022102)()()(2212022121ryhrrdryhrrrrhhxyo),(1hrA)0,(2rBhh高为，求它的体积。例3．已知圆台的上底1r半径为，下底2r半径为，)(3)()(3222121323121rrrrhrrrrh当上底半径01r，下底半径rr2时，则得圆锥的体积为hrV231。hryhrrrrh0322121)()(3得交点1),1(，1),1(。解：解方程组2222xyyx例4．求由222yx和2xy所围成的图形分别绕轴x、轴y旋转而成的旋转体的体积。xoy112xy222yx10)532(253xxx.1544)51312(2dxxx)2(24102dxxdxxVx141211)2(dyydyyVy221102)(232110)312(21yyy)]312()23222[(2).67234(xoy2xy222yx2114xyoa2例5.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性2022)cos1(tattad)cos1(ttad)cos1(2033ttad2sin16063uuadsin322063332a6543212325aay)2(tu令15xyoa2a绕y轴旋转而成的体积为a222)sin(ttattadsin2)(2yxx22)sin(ttattadsin0注意上下限!2023dsin)sin(tttta注)(1yxx17柱壳体积说明:xxxdy柱面面积2)sin(tta)cos1(ta18偶函数ttattad)cos1()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu令043dsin)2sin2(16uuuua2uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函数例6．证明：由bxa0，)(0xfy所围成的图形绕轴y旋转所成的旋转体的体积为：baydxxfxV)(2。证明：以为x积分变量，把在],[ba上的任意子区间],[dxxx上对应的窄曲边梯形绕轴y旋转而成的薄壳看作是一个中空圆柱体，沿着中空圆柱体的高剪开展平，它近似于一块长方形的薄片，于是薄壳的体积近似等于为以)(xf高，为以2x长，为以dx厚的长方体的体积，即旋转体的体积微元为类似地，由dyc0，)(0yx所围成的图形绕轴x旋转所成的旋转体的体积为：dcxdyyyV)(2。baydxxfxV)(2x2)(xfdxdxxfxdv)(2xdxxxyaob)(xfx)(xf21例7设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0xxfttd)(20xxfxtd)(20xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV故22设平面图形A由xyx222与xy所确定,求图形A绕直线x＝2旋转一周所得旋转体的体积.提示：选x为积分变量.旋转体的体积为V102d)2)(2(2xxxxx32212yox211例8.若选y为积分变量,则V1022d)11(2yy102d)2(yyxy23xyoab设平面光滑曲线求sySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:xyoab)(xfyabx3．4．4旋转体的侧面积24xyo)(xfyabxsySd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的)(2ttttd)()(22S注意:侧面积为25xRyo例9.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得212xxS22xR2122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高h＝2R时,得球的表面积公式24RS1x2xozyx26例10.求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:利用对称性2022Sta3sin22ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin51122512attacossin32绕x轴旋转作业习题九（P199）6；9；12；13；15；