定积分的应用(面积)

1第七节定积分的应用一.求平面图形的面积二.求几何体的体积三.在经济问题中的应用2复习：定积分的几何意义1A2A3A4A4321d)(AAAAxxfba曲边梯形面积曲边梯形面积的负值一.求平面图形的面积3ab)(xfxy0ab)(xfxy0.d)(Abaxxf1.以x轴为底边的曲边梯形的面积4若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为.d)(baxxfA)(xfy)(xfyxyoab5ab)(yxxy0.d)(Abayy2.以y轴为底边的曲边梯形的面积b)(yxxy0a)(yxyxba63.由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积cxyoab)(xfy)(xgyAcacaxxgxxfd)(d)(bcbcxxfxxgd)(d)(caxxgxfd)]()([acxxfxgd)]()([accaxxgxfxxgxfd)()(d)()(baxxgxfd)()(73.由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积cxyoab)(xfy)(xgybaxxgxfAd)()(8特别，时,)()(xgxfxyoab)(xfy)(xgybaxxgxfAd)]()([9,d)(dxxfA面积元素:由连续曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形的面积)(xfybyoxaxxxbaxxfAd)(面积10由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积cxxxxyoab)(xfy)(xgybaxxgxfAd)()(,d)()(dxxgxfA面积元素:11dcyyyAd)()(由曲线)(yx、)(yx直线)(,dcdycy围成的平面图形的面积为,)()(时若特别，yy.d)]()([dcyyyAdcxyo)(yx)(yxdcxyo)(yx)(yx12计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解先求两曲线的交点)1,1()0,0(选x为积分变量,]1,0[xxxxAd)(210103)332(23xx.312xy2yx例1xy22yxxy能否选y为积分变量?13计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解先求两曲线的交点)1,1()0,0(选y为积分变量,]1,0[yyyyAd)(210103)332(23yy.312xy2yx例122yxxyyx14计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxyxy224xy20d)]2(2[xxxA例2.1882d)]4(2[xxx选x为积分变量,]8,0[xxy2xy215此题选y为积分变量比较好,422d)24(yyyA.1820d)]2(2[xxxA82d)]4(2[xxx选择积分变量的原则：(1)尽量少分块；(2)积分容易。4xyxy224yx22yx42y4232)642(yyy1622xy211xy例3求曲线22xy,211xy与直线3x所围成的平面图形的面积.xoy3311解由对称性,1022d)211(2xxxA.3233交点,1x3122d)112(2xxx17例4求由抛物线1)2(2xy和与抛物线相切于纵坐30y处的切线及x轴所围成的平面图形的面积标解求导，得两边关于xxy1)2(2)2(213xy3302d)]42()2(1[　　yyyA302d)96(　　yyy9)933(3023yyy)2(213xy1)2(2xy504yx将30y带入抛物线方程，得横坐标20x1)2(2yy，代入20x，得30y21)2(y因此切线方程为2)2(1yx42yx18?,,]10[,102和最小图中两阴影部分的面积为何值时当一点上的任是区间上定义在设，ttxxyy=x2t12tyx11S2S21SSS解例5122022d)(d)(ttxtxxxt123032]3[]3[ttxtxxxt，313423tt，令0)12(224'2ttttS10t，得驻点21,0:tt.21时两面积和最小当t19练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,yxyx（1）,,0xyeyex（2）轴（3）10xxdAx1610xeeAdx112332xxAdx32320练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。102Axxdx32123Axxdx2212xxdx（4）2,,2yxyxyx（5）76.3322122222202Axxdx12221xdx一般地：如右图中的阴影部分的面积为dcAfygydy练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。222,,1yxyxy（6）10()2yAydy或22(1)3222122222241yx242yx法一：以y作积分变量32231224142Axdxxdx法二：以x作积分变量22202(2)(1)44yyAdy（7）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。423423231A例5求由下列给定曲线所围成的图形面积。33cossinxatyat1044aAAydx20422sinc2s1ottadt22022sin2s3inttdta22031cos41cos4attdt22031cos4coscos4cos4attttdt23...8a星形线03324sincosatdat解由图形的对称性可得偶次方化倍角222333xya即24作业：1.(3)(5)(8)2.1.选择积分变量的原则：(1)尽量少分块(2)积分容易。总结：2.准确的作图.25设曲线)(xfy过原点及点)3,2(，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴和曲线)(xfy围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线)(xfy围成的面积的两倍，求曲线方程.备用题1.26解答1S2Sxyo)(xfy),(yx122SSxdxxfS02)(xdxxfxySxyS021)(])([2)(00xxdxxfxydxxf,2)(30xydxxfx两边同时对求导x27yxyxf22)(3yyx2积分得,2cxy因为曲线)(xfy过点)3,2(29c,292xy因为)(xf为单调函数所以所求曲线为.223xy28xyO1xy122xy34211)3,4(12..1122图形的面积所围成与直线求由曲线xyxy解为确定积分限，解方程组1122xyxy.)3,4()1,0(，得交点312d)1(21)1(yyyS3132236121yyy316.积分对y29xyO1xy122xy34211)3,4(1此题如果选作积分变量，x021d122xxS必须分成两个部分，即40d)]1(12[xxx316303..:)10(1:2221的值定为大于零的常数，试确其中，分为面积相等的两部分所围区域被曲线轴轴和，假设曲线aaaxyLyxxxyL解的交点，由，先求曲线21LL)0,10(122axaxx解得,11ax,1aay于是有axaxxS110221d])1[(aaxxx110333131a132xyO21xy2axy1S2S131又1021d)1(21xxS322131从而有aS132131于是3a