定积分的概念(公开课)

1.5.3定积分的概念abxyo?A曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.)(xfy实例1（求曲边梯形的面积）如图一、问题的提出abxyoix1x1ix1nx,1210bxxxxxxanii(1)分割1b-a=(1,2,).niiixxxin在区间],[ba任意插n个分点，把],[ba分成n个小区间：).,2,1(,1nixxii每个小区间的长度如图：曲边梯形abxyoiix1x1ix1nx（3）求和：面积的近似值为11()nniiiiiSsfx（2）近似代替：（以直代曲）1[,]()iiiiixxSfxi在每个小区间上任取一点（4）取极限，精确化：01lim()nixiSfxV虽然是变速，但在很短一段间隔内，V的变化不大，可近似看作是匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思想。V(T)AB（求变速直线运动的路程）实例2tab0t1t2t1itit1ntnti(1)分割011,iinatttttb(2)近似代替()iisvt11nniiiissvt(3)求和(4)取极限01lim().nitisvt1iittt),,2,1(ni（求变速直线运动的路程）实例2从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变速运动的路程，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都归结为形如的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义。()1nfxiibxxxxxann1210定义二、定积分的定义(),fxab如果函数在区间上连续，用分点1,,(1,2,,),iiiabnxxin将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点做和式11()(),nniiiibafxfnn当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作(),bafxdx即baIdxxf)(1lim()ninibafdxn被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限练习：根据定积分的定义求：1.5.1中的曲边梯形的面积1.5.201t中汽车在这段时间内经过的路程.3110210dxxdxxfS.35210210dttdttvS1.()bafxdx是一个和式的极限是一个确定的常数2.当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)[a,b]注意3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf注意130xdx例1：利用定积分的定义，计算的值.A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关)(xfy在ba,上连续，则定积分badxxf)(的值4.及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为12xy与直线3,1xx1.由曲线dxx)1(2312-2[-2,2]0A222)1(dxx3.定积分检测：223sintdt中，积分上限是积分下限是________2.积分区间是,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值三.你能说说定积分的几何意义吗？y)(xfyaxbxxoAy)(xfyaxbxAxo探究：教材46页abyx1A2A3A4A5A()dbafxx各部分面积的代数和12345AAAAA性质1：bababadxxgdxxfxgxf)()()]()([（差）分等于它们定积分的和函数的和（差）的定积性质2：被积函数的常数因子可以提到积分号外为常数），kdxxfkkf(x)dxbaba()(四、定积分的基本性质性质3：对调定积分上下限，改变符号badxxf)(abdxxf)(0f(x)dxaa当a=b时性质4：（积分的可加性）bacabcdxxfdxxfdxxfc)()()(，则一定有对任意的分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限小结定积分的实质：特殊和式的极限．定积分的思想和方法：定积分的几何意义：一、填空题：1、函数)(xf在ba,上的定积分是积分和的极限，即badxxf)(_________________.2、定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关.3、定积分的几何意义是_______________________.4、区间ba,长度的定积分表示是_____________..练习题01lim()nixifx被积函数围成的各个部分面积的代数和积分变量积分区间0badx练习题1-15A2π0cosdxx解：20(1)cosdxx如何表述定积分的几何意义？根据几何意义推出定积分的值：11(2)dxx4A3A2ππ3453535()()0AAAAAAA111d221112xxA作业：P50A组5（1）（2）