定积分的概念与性质

第五章定积分积分学不定积分定积分目录上页下页返回结束第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分的概念及性质第五章四、定积分的性质目录上页下页返回结束一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.?A)(xfy矩形面积梯形面积yOxab目录上页下页返回结束1xix1ixayO解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAi目录上页下页返回结束3)近似和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.令则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixayOi目录上页下页返回结束2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得iiitvs)(),,2,1(ni已知速度n个小段过的路程为目录上页下页返回结束3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限目录上页下页返回结束Oabx二、定积分定义(P225)任一种分法,210bxxxxan任取i总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称f(x)在[a,b]上可积.记作目录上页下页返回结束baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(目录上页下页返回结束定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和O目录上页下页返回结束O1xyni可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为2xyiiiixxf2)(则32ni目录上页下页返回结束iinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim31注注O1xyni2xy注.当n较大时,此值可作为的近似值xxd102目录上页下页返回结束121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例2.用定积分表示下列极限:ninnin111lim)1(121lim)2(ppppnnn解:ninnin111lim)1(nninin11lim1iixxxd110Ox1ni1ni目录上页下页返回结束三.定积分的近似计算,],[)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:),,1,0(nixiaxi,nabx),,1,0()(niyxfii记baxxfd)(xyxyxyn110)(110nnabyyy将[a,b]分成n等份:Oabxyix1ix1.左矩形公式)(21nnabyyybaxxfd)(xyxyxyn21例12.右矩形公式目录上页下页返回结束baxxfd)(xyyii][211)()(21110nnyyyynab11niabxOyix1ixayObx12ixix222ixmx20xbaxxfd)(imiimimyyyymab21112120246推导3.梯形公式4.抛物线法公式目录上页下页返回结束例3.用梯形公式和抛物线法公式xxId14102解:计算yi(见右表)的近似值.13993.3I14159.3Iixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取n=10,计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为1415926.3d14102xxI计算定积分目录上页下页返回结束四、定积分的性质(设所列定积分都存在)0d)(aaxxfbaxd.2(k为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([.4证:iiinixgf)]()([lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010=右端ab目录上页下页返回结束证:当bca时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是],[)(baiixf],[)(caiixf],[)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abc目录上页下页返回结束abc当a,b,c的相对位置任意时,例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(目录上页下页返回结束6.若在[a,b]上0)(1iinixf则证:baxxfd)(0)(lim10iinixf推论1.若在[a,b]上则目录上页下页返回结束推论2.证:)(xf)(xf)(xf)(baxxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7.设,)(min,)(max],[],[xfmxfMbaba则)(ba目录上页下页返回结束例4.试证:证:设)(xf,sinxx则在),0(2π上,有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2π即π2,1)(xf),0(x2π故xxxfxd1d)(d2π2π2π0002即2πdsin12π0xxx目录上页下页返回结束8.积分中值定理则至少存在一点使))((d)(abfxxfba证:,,],[)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在],[ba使因此定理成立.性质7目录上页下页返回结束Oxbay)(xfy说明:•可把)(d)(fabxxfba故它是有限个数的平均值概念的推广.•积分中值定理对因)(1lim1niinfn目录上页下页返回结束例5.计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为tgv故所求平均速度2211TgT2Tg目录上页下页返回结束内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式目录上页下页返回结束OπxO1xn1n2nn1思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:10πsinlimnknnkIπ1nππ0dsinπ1xxnπnπ2nnπ)1(或)(πsinlim10nknnkIn110dsinπxx目录上页下页返回结束思考:如何用定积分表示下述极限提示:nknnkI1πsinlimπ1nπnnnnπsin1limnnnnπ)1(sin1limπ0dsinπ1xx极限为0!目录上页下页返回结束2.P236题13(4)题13(4)解:设,)1ln()(xxxf则xxf111)(]1,0(x,0)(xf]1,0(,0)0()(xfxf0d)(10xxf即xxxxd)1(lnd1010目录上页下页返回结束作业P2357;10(4);12(3);13(5)第二节