定积分的概念和基本性质

§6.1定积分的概念第1页14.3.1定积分的定义4.3.2定积分的基本性质§6.1定积分的概念第2页2例:求曲线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边三角形的面积。xyOy=x21S4.3.1引出定积分定义的例题§6.1定积分的概念第3页3SxyOy=x212n1n1nn......1inin21()in(4)取极限取Sn的极限，得曲边三角形面积：S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。13=(1)分割(1,2,...,1)ixinnn==直线把曲边三角形分成个小曲边梯形。[0,1]n将区间分成个相等的小区间。121......innSsssss=(2)近似i第个小曲边梯形面积:211s()(1,2,...,)iiinnn=22211112110()()...()nnSnnnnnnn=6)12()1(13=nnnn)211)(11(31nn=。小矩形面积的总和：(3)求和nSS§6.1定积分的概念第4页4SxyOy=x212n1n1nn......1inin2()in(4)取极限取Sn的极限，得曲边三角形面积：S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。13=(1,2,...,1)ixinnn==直线把曲边三角形分成个小曲边梯形。(1)分割[0,1]n将区间分成个相等的小区间。121......innSsssss=21()ini第个小曲边梯形面积:(2)近似211s()(1,2,...,)iiinnn=6)12()1(13=nnnn)211)(11(31nn=。小矩形面积的总和：22211112110()()...()nnSnnnnnnn=(3)求和§6.1定积分的概念第5页5SxyOy=x212n1n1nn......1inin(4)取极限取Sn的极限，得曲边三角形面积：S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。S=nlimSn)211)(11(31limnnn==31。13=(1,2,...,1)ixinnn==直线把曲边三角形分成个小曲边梯形。(1)分割[0,1]n将区间分成个相等的小区间。121......innSsssss=i第个小曲边梯形面积:(2)近似211s()(1,2,...,)iiinnn=6)12()1(13=nnnn)211)(11(31nn=。小矩形面积的总和：22211112110()()...()nnSnnnnnnn=(3)求和§6.1定积分的概念第6页6分割求和近似取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”,求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；例:求曲线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边三角形的面积。§6.1定积分的概念第7页7一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：(1,2,...,1)(1)ixxinn==用直线把曲边梯形分割为个小曲边梯形。1(1,2,...,)iiixxxin==每个小曲边梯形的底的宽度记为。1(),2iiiixxi在第个小区间[]上任取一点,用第个小矩形的面积近似替代()iiiiAfx第个小曲边梯形的面积：S=ni1f(i)xi。(3)将全部小矩形面积求和后作为S曲边梯形面积的近似值。即有12,(4,)nmaxxxx记=,为得到曲边梯形面积可取极限：01lim()niiiSfx==y=f(x)bxyOaxi-1xi1x2x......1nx=x0xn=i()if(1,2,,)in=§6.1定积分的概念第8页8例2．设物体沿直线作变速运动，速度为v=v(t),假定v(t)是t的连续函数，求此物体在时间区间[a,b]内运动所走距离s。tOtn==t0t1ti1titn1abti引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程解：......01lim()niiiSvtt==(2)在第i(i=1,2,,n)个时间段[ti1,ti]上任取一时刻ti，用v(ti)ti近似替代物体在第i个时间段所走距离:siv(ti)ti。(1)用分点t=ti(ti1ti,i=1,2,,n1)把[a,b]分割成n个小的时间段，第i个时间段为[ti1,ti]，长度记为ti=titi1。(3)将物体在各时间段所走距离的近似值求和，并作为物体在区间[a,b]内所走距离s的近似值：1()niiiSvtt=(4)记=max{t1,t2,,tn}，取极限0，则物体在时间区间[a,b]内运动的距离：§6.1定积分的概念第9页9分割求和近似替代取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”或以“不变代变”求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程实例一：求曲边梯形的面积§6.1定积分的概念第10页104.3.1定积分的定义定义4.3.1:区间任意分成n份,分点依次为将在每一个小区间[xi-1,xi]上任取一点ci,作乘积iixcf)()(1=iiixxx),,2,1(ni===niiixcf1)(无论区间的分法如何,ci在[xi-1,xi]上的取法如何,如果当最大区间长度}{max1inix=§6.1定积分的概念第11页11（续上页）在每一个小区间[xi-1,xi]上任取一点ci,作乘积iixcf)(无论区间的分法如何,ci在[xi-1,xi]上的取法如何,如果当最大区间长度}max{ix===niiixcf1)(趋于零时和数σ的极限存在,那么我们就称函数f(x)在区间[a,b]上可积,并称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为===baniiidxxfxcfI)()(lim10其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量,[a,b]称为积分区间,a称为积分下限,b称为积分上限,和数σ称为积分和.§6.1定积分的概念第12页12积分上限积分号积分下限积分变量定积分的定义式：[a,b]—称为积分区间被积函数()baIfxdx=定积分的相关名称：f(x)dx—称为被积表达式.baf(x)dx，即baf(x)dx==ni10limf(i)xi。0lim=niiixcf1)(§6.1定积分的概念第13页13注意:定积分与不定积分的区别定积分和不定积分是两个完全不同的概念.不定积分是微分的逆运算而定积分是一种特殊的和的极限函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在[a,b]上的定积分是一个完全由被积函数f(x)的形式和积分区间[a,b]所确定的值.§6.1定积分的概念第14页14S=baf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为s=bav(t)dt。定积分的定义式：baf(x)dx，即baf(x)dx==ni10limf(i)xi。0lim=niiixcf1)(§6.1定积分的概念第15页15规定:=abbadxxfdxxfba;)()(,时当.0)(,==badxxfba时当§6.1定积分的概念第16页16当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、,xaxbx==及轴所围成的曲边梯形的面积。y=f(x)abOxy()bafxdxbaf(x)dx，即baf(x)dx==ni10limf(i)xi。0lim=niiixcf1)(S=§6.1定积分的概念第17页17iniiiniixcfxcfSSxfyxfxf=====1010)]([lim)]([lim,)(,0)(,0)(则梯形面积为为曲边的曲边设以时==babaSdxxfdxxf)()(从而有yxOabSy=f(x)§6.1定积分的概念第18页18函数f(x)在区间[a,b]上的定积分表示为直线x=a,x=b,y=0所围成的几个曲边梯形的面积代数和。S1S2S3321)(SSSdxxfba=ab§6.1定积分的概念第19页19课本例题：例3：利用定积分几何意义验证：例4：在区间[a,b]上，若f(x)0,f’(x)0,利用定积分几何意义验证：21112=dxxbaabbfdxxfabaf))(()())((§6.1定积分的概念第20页20性质1：4.3.2定积分的基本性质有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi(x)(i=1,2,…,n)在[a,b]内可积，则有=bababanbandxxfdxxfdxxfdxxfxfxf)()()()]()()([2121§6.1定积分的概念第21页21性质2：4.3.2定积分的基本性质一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若f(x)在[a,b]上可积，则cf(x)在[a,b]上也可积（c为常数），且满足=babadxxfdxxcf)()(§6.1定积分的概念第22页22性质3：积分的可加性定理4.3.2定积分的基本性质设f(x)在[a,b]内可积，若acb,则f(x)在[a,c]和[c,b]上可积；反之，若f(x)在[a,c]和[c,b]上可积，则f(x)在[a,b]内可积，且有=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(§6.1定积分的概念第23页23性质4：积分的可加性定理4.3.2定积分的基本性质交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则=abbadxxfdxxf)()(0)()()(==aaaaaadxxfdxxfdxxf§6.1定积分的概念第24页24性质5：4.3.2定积分的基本性质设f(x)和g(x)在[a,b]上皆可积，且满足条件f(x)≦g(x)，则有babadxxgdxxf)()(§6.1定积分的概念第25页25性质6：4.3.2定积分的基本性质abdxdxbaba==1§6.1定积分的概念第26页26性质7：4.3.2定积分的基本性质若函数f(x)在[a,b]上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则推论：若函数f(x)在[a,b]上可积，则baabMdxxfabm)()()(bababadxxfdxxfdxxf)()()(§6.1定积分的概念第27页27性质8：定积分中值定理4.3.2定积分的基本性质设f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]内至少有一点ξ(a≦ξ≦b),使得下式成立：同时，我们称下式为f(x)在[a,b]上的平均值))(()(abfdxxfba==badxxfabf)()(1)(§6.1定积分的概念第28页28课本例题：例5：不计算积分，试比较下面两个积分的大小dxxdxx2/02/0sin与