定积分的简单应用--面积

§3.1定积分的简单应用定积分的几何意义（1）当f(x)≥0时，表示的是y=f(x)与x=a,x=b和x轴所围曲边梯形的面积。（2）当f(x)＜0时，y=f(x)与x=a,y=b和x轴所围曲边梯形的面积为()bafxdx|()|()bbaafxdxfxdx（一）复习回顾-∏∏1-1yxo例1.求如图所示阴影部分图形的面积。分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；一部分是x轴上方的图形的面积（记为s1）;另一部分是x轴下方图形的面积（记为s2）.根据图像的性质：s1=s2.所以，所求阴影部分的面积是4..10sincos|(coscos0)2.0sxdxx（二）例题分析542yxo思考：求如下图形中阴影部分面积54242sin(sin)2sxdxxdx例2.求抛物线y=x与直线y=2x所围成平面图形的面积。2o2x4y求出曲线y=与直线y=2x的交点为（0，0）和（2，4）。2x设所求图形的面积为S，根据图像可以看出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成平面图形的面积（设为S1）减去抛物线y=，直线x=2以及x轴所围成的图形的面积（设为S2）。2x解:画出抛物线y=与直线y=2x所围成的平面图形，如图所示。2x22333202118|(20)0333sxdxx1284433sss22221022|2040sxdxx∵思考：求曲线y=与直线x+y=2围成的图形的面积。小结：求平面图形的面积的一般步骤（1）根据题意画出图形；（2）找出范围，确定积分上、下限；（3）确定被积函数；（4）写出相应的定积分表达式；（5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。2x抽象概括：一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成的平面图形（如图1）的面积S，则()().bbaasfxdxgxdxyxoaby=f(x)y=g(x)syy=f(x)sy=g(x)aboxxyoaby=g(x)y=f(x)s图1图2图3想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？例3.求曲线x=和直线y=x-2所围成的图形的面积。2yx=1s1s2yox4212-2-11y=x-2x=2y解：阴影部分面积S=S1+S2.S1由y=，y=-，x=1围成：xxS2由y=，y=x-2，x=1围成：x110[()],sxxdx421[(2)],sxxdx14012(2).sxdxxxdx92（三）练习1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形的面积。2.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成的平面图形的面积。3.求曲线y=sinx(x∈[])和y=cosx(x∈[])围成的平面图形的面积。344，344，(2)变力沿直线所做的功例4：如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功（）A.0.18JB.0.26JC.0.12JD.0.28J所以做功就是求定积分0060100xdx018..kxF则由题可得k100。略解：设A说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:badxxFW)(＝（四）总结（1）利用定积分求所围平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上、下限。（2）当平面图形是由多条曲线围成时，要合理分区域积分求面积。（五）课后作业课本P90习题4-3第1、2、3、4题。再见