定积分的计算方法

1第四节定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元积分法设)(xf在],[ba上连续；函数)(tx满足条件定理（2）)(t在],[或],[上单调，且有连续导数，则有tttfxxfbad)()]([d)(（1）a)(、b)(；2证tttfxxfbad)()]([d)(因为)(xf在],[ba上连续，故原函数存在，设)(xF是)(xf的一个原函数，则有tttfd)()]([.d)(baxxf)(d)]([ttf])([tF)]([)]([FF)()(aFbF3注意:(1)应用定积分的换元法时,与不定积分比较，多一事：换上下限；少一事：不必回代；)(tx应单调,当t从变到时,x从a变到b,不重复,不遗漏；(2)(3)逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.tttfxxfbad)()]([d)(4例12/05dsincosxxx2/06cos61x.61例230)1(dxxx301d2xx30arctan2x.32例3202d1xxx2021x.152022d1121xx2/05cosdcosxx5例4计算解.dsinsin03xxx原式02dcossinxxx0dsin|cos|xxx220dsincosdsincosxxxxxx220sindsinsindsinxxxx2322032sin32sin32xx.346例5计算解令.1d803xx，tx3，ttxd3d2,80:x，20:t原式202d13ttt202d1113ttt20d)111(3ttt202)1ln21(3ttt.3ln3，3tx7例6计算解令原式.d1e3ln0xx，tx1e，21etx，)1ln(2tx，tttxd12d2，3ln0:x，22:t222d12tttt222d)111(2tt2211ln)22(2tt1212ln31ln)22(2.)12ln(23ln)22(28例7计算解令.d)1(10222xxx,tantx40:t，ttxdsecd2原式4/0422dsecsectantttt4/02dsintt4/0d)2cos1(21tt4/02sin418t.4189例8解求函数221xxy在区间]23,21[上的平均值.sintx232122d1xxxtttt362dcoscossintt362dsintt36d)2cos1(213/6/2sin4112t所以平均值等于)2123(12.1213，1210例9解设,0,110,2)(xxxxxxf求20)d1(xxf.令，tx1原式11d)(ttf11d)(xxf0110d11d2xxxxx.2ln201102d)121(xxx01)1ln(211x11证设)(xf在],[aa上连续,那么(1)若)(xf为偶函数,则aaaxxfxxf0d)(2d)(；(2)若)(xf为奇函数,则0d)(aaxxf.，00d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxfaattftxxxf00d)(d)(，axxf0d)(，aaaxxfxfxxf0d)]()([d)(利用函数的对称性,有时可简化计算.12(1))(xf为偶函数,则),()(xfxf(2))(xf为奇函数,则),()(xfxfaaaxxfxfxxf0d)]()([d)(aaaxxfxxf0d)(2d)(.0d)(aaxxfyxo)(xfyyx)(xfyo131122d)1(xxx11222d)112(xxxxx11211d12d1xxxx.2例10xxbxaxxdcossin1cossin2222.0奇函数112d)1ln(xxx,011d21121xx,011d22ln1xxx11dx,2112d)1ee(xxxx102d2xx.32奇函数奇函数14设)(xf是以T为周期的连续函数，证明：证Taaxxfd)(,d)(d)(d)(00TaTTaxxfxxfxxfTaTxxfd)(tTxatTtf0d)(attf0d)(,d)(0axxf.d)(d)(0TTaaxxfxxf例11TTaaxxfxxf0d)(d)(.15例12设)(xf在]10[，上连续,证明：.d)(sin2d)(sin2/00xxfxxf，2/2/00d)(sind)(sind)(sinxxfxxfxxf证(1)2/d)(sinxxf2/0d)(sinttf，2/0d)(sinxxf.d)(sin2d)(sin2/00xxfxxfxt02/)(d)][sin(ttf16.d)(cosd)(sin2/02/0xxfxxf证(2)令，xt22/0d)(sinxxf02/d)]2[sin(ttf.d)(cos2/0xxf例12设)(xf在]10[，上连续,证明：17证(3)令，00d)(sin2d)(sinxxfxxxf并计算.dcos1sin02xxxx，xt0d)(sinxxxfI，Ixxf0d)(sin.d)(sin20xxfI例12设)(xf在]10[，上连续,证明：)d()][sin()(0ttft0d)(sin)(ttft1802dcos1sinxxxx02dcos1sin2xxx0)arctan(cos2x]1arctan)1[arctan(200d)(sin2d)(sinxxfxxxf02cosdcos112xx.4219解例13设)(xf在),(上连续，且满足,1ed)(0xttxftxx求)(xf，令，txuxttxft0d)(则0d)()(xuufuxxuufux0d)()(,d)(d)(00xxuufuuufx,1ed)(d)(00xuufuuufxxxx两边求导，,1e)()(d)(0xxxxfxxfuuf即,1ed)(0xxuuf再求导，得.e)(xxf20设xtttxf1d1ln)(,其中0x,求)()1(xfxf.例14解xtttxf11d1ln)1(uuuuutxd)1(/11ln/112,dln12xuuuuxxtttttttxfxf11d1lnd)1(ln)()1(xttt1dln.ln212xxtttttt1d1ln)1(ln21二、定积分的分部积分法定理设函数)(),(xvxu在],[ba上连续可导,则.d)(dbababauvuvvu例110dexxx10dexx1010deexxxx例251dlnxx5151lndlnxxxx.45ln551d15ln5xxx.1ee10x22e13dlnxxxe121dln21xxe12e12lnd121ln21xxxxe132d121e21xxe12241e21x.e43412例3例402dsinxxx02cosdxx002dcos2cosxxxxx02sind2xx002dsin2sin2xxxx.4223例5计算与换元法结合..de10xx解令,tx,2tx,d2dttx,10:t原式10de2ttt10de2tt1010de2e2tttt.2e2e210t24例6计算解令原式.d1arcsin30xxx,1arcsintxx则,tan2tx,30:x3/02tandtt3/023/02dtantantttt.334,sin12txx解得,30:t3/02d)1(sectt3tan3/0x25e1d)sin(lnxxIe1e1d1)cos(ln)sin(lnxxxxxxe1d)cos(ln1sinexxe1e1d1)sin(ln)cos(ln1sinexxxxxx,11cose1sineI.)11cose1sin(e21I例7计算.d)sin(lne1xx解26解计算积分，10d)(xxxfI.de)(12xttxf其中采用分部积分的方法,10d)(xxxfI1010)(d2)(2xfxxxf10d21e2xxxx10dexx.1e1xxfx21e)(10d)(2xxf例80)1(f27例9计算解2/0)(,dsinNnxxInn2/01cosdsinxxInn2/0222/01dsincos)1(cossinxxxnxxnn2/022dsin)sin1()1(xxxnn，nnInIn)1()1(2得到递推公式：)2(,12nInnInn28)2(12nInnInn2/0,dsinxxInn而，20I，11I若n为正偶数,则02143231InnnnIn；22143231nnnn若n为大于1的奇数,则.3254231nnnnIn29的奇数为大于为正偶数1,3254231,22143231dsin20nnnnnnnnnnxxn即例如，2/06dsinxx2/05dsinxx另外，.dsindcos2/02/0xxxxnn2214365，325.158325430例10计算解50cosd,()2xIxnN/2502cosdItt42253,2xt令则dd2,xt16.1531定积分的分部积分公式.bababavduuvudv二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）tttfxxfbad)()]([d)(定积分的换元积分公式（注意：换元必换限）32*思考题设)(xf在1,0上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求10)2(dxxfx.33思考题解答10)2(dxxfx10)2(21xfxd1010)2(21)2(21dxxfxfx10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff.234一、填空题：1、设n为正奇数，则20sinxdxn___________；2、设n为正偶数，则20cosxdxn=___________；3、dxxex10______________；4、exdxx1ln_____________；5、10arctanxdxx____________.二、计算下列定积分：1、edxx1)sin(ln；2、eedxx