定积分课件

定积分的概念两个实例定积分的定义定积分的存在定理定积分的几何意义定积分的性质abxyo?A曲边梯形：由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.)(xfy一、两个实例abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）1xix1ixayo解决步骤:1)分割:在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似:在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得1()(1,2,)iiiiiiAfxxxxini3)求和:niiAA1niiixf1)(4)取极限:令则曲边梯形面积niiAA1niiixf10)(limayo1xix1ixiix1ix1xi2x1化整为零2以直代曲(以常代变)iiixfA)(3积零为整yxoy=f(x)1nxniiixfA1)(ab..分法越细，越接近精确值曲边梯形的面积f(i).ix1ixi4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整niiixfA1)(iiixfA)(f(i)曲边梯形的面积ix1ixi4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整niiixfA1)(iiixfA)(f(i)niiixf10)(limA=.A.ab曲边梯形的面积设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.实例2（求变速直线运动的路程）•思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。（１）分割：任取分点21101TttttTnn，把],[21TT分成n个小区间，每个小区间长为),,2,1(1nitttiiitOT1T2t0t1tn1tn=ititi1（2）近似：把每小段],[1iitt上的运动视为匀速，任取时刻],[1iiitt，作乘积iitV)(，显然这小段时间所走路程iS可近似表示为：iiitvsni,,2,1第i段路程值第i段某时刻的速度（3）求和：把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程S的近似值，即niiiniitVSS11)(（4）取极限：当0}{max1init时，上述总和的极限就是S的精确值，即niiitVS10)(lim曲边梯形的面积niiixfA10liminix1max（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限变速直线运动的路程niiitvS10liminit1max(i1,2,,n),niiixf1)(作和max{x1,x2,,xn};在小区间[xi1,xi]上任取一点ξi记xi=xi-xi1(i1,,n),个分点:ax0x1x2xn1xnb;设函数f(x)在区间[a,b]上有界.极限存在,且极限值与区间[a,b]的分法和ξi的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为badxxf)(niiibaxfdxxf10)(lim)(即二、定积分的定义在区间[a,b]内插入n-1如果当0时,上述和式的此时称f(x)在[a,b]上可积.baIdxxf)(01lim()niiifx被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分区间],[ba积分和读作“从a到b函数f(x)的定积分”曲边梯形面积A：变速运动的路程S：01lim()niiiSvtdttvTT21记为01lim()niiiAfxbafxdx记为关于定积分的说明：求导有如下的式子：xdxxfdxdbadxxfdxd（２）定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积记号无关，即dxxfbadttfba;duufba（１）定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族，它们分别对分变量的)(xf0例1计算.102dxxxyo1nini1(1)分割1,0等分nixinxi1(2)近似取nixii矩形面积nni12(3)求和nnini121nnini121niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nn(4)取极限nnini121)12)(11(61nndxx102nnini1lim210nninin1lim21)12)(11(61limnnn31当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，则)(xf在区间],[ba上可积.且最多只有有限个间段点，则)(xf在三、定积分的存在定理区间],[ba上可积.,()0,abfxbaAdxxf)(,()0,abfxbaAdxxf)(1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba四、定积分的几何意义12340几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．所围的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是由xxbxaxxfx,)(ab◆定积分几何意义的应用3(71)181(28)3152142817371(1)3dx41(2)2xdx21932200xy2-33323(3)9xdx20(4)sinxdx◆定积分几何意义的应用例2用定积分表示下列图中阴影部分的面积102xdx1211xdx例3用定积分表示由sinyx31,0,4xyx1o34341sinAxdx解：平面图形如右图所示所围平面图形的面积。例4用定积分表示由所围平面图形的面积。sinyx51,0,4xyx1o解：平面图形如右图所示54A211sinAxdxA1542sinAxdx12AAA由图可知因为541sinsinAxdxxdx所以若是奇函数，则()fxaafxdx0aafxdx02afxdx()fx若是偶函数，则a-a◆对称区间上的定积分-aa对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．五、定积分的性质证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.性质1niiibaxfdxxf10)(lim)(babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk性质2niiibaxfdxxf10)(lim)(badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设bca性质3dxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10.0)(badxxf性质4性质5如果在区间],[ba上0)(xf，niiibaxfdxxf10)(lim)(性质5的推论：证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)(.)(ba证,)()()(xfxfxf,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa即dxxfba)(dxxfba)(.性质5的推论：（2）dxxfba)(dxxgba)()(ba,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa例5比较下列各对积分值的大小：(1)20sinxdx202sinxdx21lnxdx212lnxdx(1)因为在2,0,1sin0x.sinsin2xx20sinxdx202sinxdx21lnxdx212lnxdx(2)和(2)和解上由推论知设M及m分别是函数证,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，性质6演示如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba性质7（定积分中值定理）积分中值公式几何解释xyoab)(f在区间],[ba上至少存在一个点，以曲线)(xfy为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。