自动控制理论 邹伯敏 第三版 第二章

制作人邱国跃封面控制系统的时域数学模型一是：一个给定的控制系统，它的运动有哪些性质和特征？称二是：怎样设计一个控制系统，使它的运动具有给定的性质和特征分析综合设？称和计控制理论研究的问题在控制系统的分析与设计中，首先要建立系统的数学模型。一.控制系统的数学模型：描述系统内部各物理量（或变量）之间相互关系的数学表达式。常用的数学模型静态模型动态模型在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间相互关系的数学方程。在动态过程中，描述各变量之间相互关系的数学方程。微分方程差分方程传递函数频率特性状态空间表达式数学模型的建立方法分析法（解析法）实验法建立数学模型的目的：为了分析系统的性能。拉氏变换S=jω计算估算估算拉氏反变换观察求解傅氏变换线性常微分方程时间响应性能指标传递函数频率特性频率响应求取性能指标的主要途径数学模型的图形表示：结构图信号流图描述系统运动的数学模型状态变量描述状态方程是这种描述的最基本形式建立系统数学模型的方法实验法解析法输入－输出描述微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它模型均由它而导出用解析法建立系统微分方程的一般步骤根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式第一节线性连续系统微分方程的建立一、线性元件单元的微分方程u(t)kM(t)frRu(t)CcF(t)fx(t)mkJ11i(t)θcrdi(t)LRi(t)u(t)u(t)dt2cccr2du(t)du(t)LCRCu(t)u(t)dtdt图示电路是由三个理想电路元件组成的简单电网络单元，试列写该网络在输入量作用下输出量的微分方程。代入得到ru(t)cu(t)cdu(t)i(t)Cdt图为弹簧、质量、阻尼器机械平移运动单元，试写出在作用力F(t)作用下质量m的位移方程。u(t)kM(t)frRu(t)CcF(t)fx(t)mkJ11i(t)θ解弹簧元件对m产生的阻力与弹性变形成正比；粘性阻尼器对m产生的阻力与运动速度成正比。作用在m上的合力满足牛顿第二运动定律，即22dx(t)dx(t)mfkx(t)F(t)dtdt22)()()()(dttydmdttdyftkytF图中L、R分别为电枢回路的总电感和总电阻。假设励磁电流恒定不变，试建立在作用下电动机转轴的运动方程。ωR负载JmmfaE+--au(t)r+Li+-ifru(t)'aeeE(t)Cn(t)C(t)aaardi(t)LRi(t)E(t)u(t)dtmaM(t)Ci(t)cd(t)JM(t)M(t)dt解:联立求解得到2clmmurmlc2dM(t)d(t)d(t)TTT(t)Ku(t)K(TM(t))dtdtdt一般地，设控制系统有如下的微分方程表达式nn1mm101n1n01m1mnn1mm1ddddddac(t)ac(t)ac(t)ac(t)br(t)br(t)br(t)br(t)dtdtdtdtdtdtnn1mm101n1n01m1masC(s)asC(s)asC(s)aC(s)bsR(s)bsR(s)bsR(s)bR(s)零初始条件下的拉氏变换为传递函数为mm101m1mnn101n1nbsbsbsbC(s)N(s)T(s)R(s)D(s)asasasa将系统输出量对于输入量的微分方程在零初始条件下取拉氏变换，变换后的输出量象函数与输入量象函数之比定义为控制系统的传递函数。-p1、-p2…..-pn—为D（s）的n个根，并称它们为F（s）的极点。由于a1、a2、…都是实数，故D(s)所有复根都成共轭对出现。当D（s）=0没有重根时，上式可展开为An—待定系数，称为F（s）在极点pi处的留数101111112()()()()()()()()mmmmnnnnnNsbsbsbsbFsDssasasaNsmnspspsp1212()()()ininNsAAAAFsDsspspspsptttt12nin-p-p-p-p-112nii=1f(t)=LF(s)=Ae+Ae++Ae=Ae()()lim()()()()iiiiispspNsNsAspspDsDs当D(s)=0有r个重根p1时，必然还有n-r个非重根112()()()()()()()()rrrnNsNsFsDsspspspsp1(1)1111111()()()rrrrAAAspspsp22()()nrnrAAspsp121(1)121112()(1)!(2)!nrrptptptrrrnrAAftttAeAeAerr第二节传递函数一、典型环节的传递函数1比例环节C(s)T(s)KR(s)2积分环节3微分环节4一阶惯性环节5二阶环节6延迟环节C(s)KT(s)R(s)sC(s)KT(s)R(s)Ts12n2222nnC(s)1T(s)1R(s)Ts2Ts1s2sC(s)T(s)KsR(s)sC(s)T(s)eR(s)传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。图速度控制系统uiR1负载SMTGk1k2功放u2u1uaωωmutcR2R1R1R+具有负反馈的速度给定控制系统原理图测速机与反馈电位器rufueu1uau运算放大器功率放大器直流电动机M'c2u反相器传递函数与结构图Φ(s)R(s)C(c))s(R)s(C)s(Φ(s)R(s)C(c)R(s)•Φ(s)=C(s))s(X1Ts1)s(Y1Ts1X(s)Y(s)Ts+1Y(s)X(s)绘制双T网络结构图1R1R2C1C2ur(t)uc(t)I(s)I1(s)Uc(s)=I2(s)sc21•I2(s)=I(s)–I1(s)I1(s)=[Uc(s)+I2(s)•R2]•SC1Ur(s)Uc(s)sc11I1(s)I(s)=[Ur(s)–I1(s)•]•sc11R11R11I(s)I2(s)sc21R2SC1Ur(s)Uc(s)sc11sc21I2(s)从右到左绘制双T网络结构图2R1R2Ur(s)Uc(s)sc11sc21I(s)I1(s)I2(s)I1(s)sc11=I2(s)R2+Uc(s)Uc(s)=I2(s)sc21I(s)=I1(s)+I2(s)R1sc11I(s)I1(s)Ur(s)这是不行的I(s)R1+I1(s)sc11＝Ur(s)sc2R2sc11Ur(s)R1Sc1I1(s)I(s)Uc(s)I2(s)I2(s)从左到右图1图2比较sc2R2sc11Ur(s)R1Sc1I1(s)I(s)Uc(s)I2(s)I2(s)Ur(s)Uc(s)sc11I1(s)R11I(s)I2(s)sc21R2SC1从右到左从左到右题1)t(c)t(n)t(x1)t(cT)t(rkdt)t(dx212)t(n)t(x)t(rk)t(xTdt)t(dx22111绘制动态结构图输出输入扰动传递函数的性质传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关传递函数只适用于线性定常系统传递函数为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次m，即n≥m传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程一个传递函数是由相应的零、极点组成一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性R1R2Ur(s)Uc(s)sc11sc21I1(s)I2(s)U1(s)补充习题绘制图示电路的结构图习题功放k3+15v-15v+15v-15v-k1-k2SMTG+–30k20k10k10k10k10kuiuauoutu2u1位置随动系统原理图习题方块图K0=30v/330o=1/11(伏/度)=5.21(伏/弧度)K1=3k2=2α=1+Rf/Ri=1+20/10=33uautu2u1kts23s(Tms+1)km5.215.21k3uoiuic二、传递函数的简化原则：等效变换G(s)C(s)a)R(s)R(s)G(s)C(s)R(s)R(s)1G(s)G(s)C(s)b)Y(s)R(s)C(s)Y(s)R(s)G(s)G(s)1G(s)C(s)c)X(s)R(s)2G(s)Y(s)1G(s)C(s)X(s)R(s)2G(s)Y(s)结构图三种基本形式G1G2G1G2串联并联反馈G1G2RCG2G1RCG1G2RCRCRCG1G1G21+RC基本形式G2G1G1G2G2G1G21G1G2+2相邻综合点可互换位置、可合并…结构图等效变换方法1三种典型结构可直接用公式3相邻引出点可互换位置、可合并…注意事项：1不是典型结构不可直接用公式2引出点综合点相邻，不可互换位置G1G2G3H1错！G1G2G3H1G2H1G1G3无用功G1G2G3H1G2向同类移动综合点移动G1G2G3H1G1引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41请你写出结果,行吗？G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1信号流图的术语和性质1）节点—代表系统中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和。2）支路—信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点3）输入节点或源点—相当于自变量，它只有输出支路。4）输出节点或阱点—它是只有输入支路的节点，对应于因变。5）通路—沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路开通路—通路与任一节点相交不多于一次闭通路—通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次6）前向通路—从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路7）回路—就是闭环通路8）不接触回路—批一些回路间没有任何公共节点9）前向通路增益—在前向通路中多支路增益的乘积。10）回路增益—回路中多支路增益的乘积。（1）信号流图的定义它是表示控制系统各变量间相互关系、以及信号流通过程的另一种图示。（2）信号流图的结构信号流图是一种表达线性代数方程组结构的信号传递网络。节点支路节点标志系统的变量（信号），在图中用小圆圈表示；支路是连接两个节点的定向线段，它有一定的增益（包括传递函数），称为支路增益，在图中应标记在相应的线段旁。注、信号只能在支路上沿箭头方向传递，经支路传递的信号应乘以支路增益。（3）信号流图的术语输入节点（源点）回路1X2X3X4X5X输入节点（源点）输出节点（阱点）混合节点abcdl源节点（或输入节点）：只有输出支路，而没有输入支路的节点。源节点一般表示系统的输入量，X1、X5就是输入节点。阱节点（或输出节点）：只有输入支路，而没有输出支路的节点。阱节点一般表示系统的输出量，X4就是输出节点。混节点：即有输入支路又有输出支路的节点。如，X2、X3节点均为混节点回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过任意节点不多于一次的闭合通路前向通道:信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通道总增益，一般用Pk表示描述四个变量的一组线性代数方程为：图为有四个节点和六条支路的典型信号流图。（4）信号流图的优点：求系统的传递函数时，不必进行预先的等效简化，而应用计算公式即可得到传递函数。这对复杂系统来说比方框图更为方便。注意、某个节点变量表示所有流向该节点的信号之和(5)信号流图的基本性质1节点标志系统的变量。2信号在支路上沿箭头单向传递。3支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以