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WelcometomyBlog!作者：崔济东（1988-），男，结构工程专业，博士研究生网站：@163.com1EarthquakeResponseSpectra地震反应谱崔济东(JiDongCui)(华南理工大学土木与交通学院，广东广州，510640)1反应谱的基本概念（IntroductiontoResponseSpectra）地震动反应谱：单自由度弹性系统对于某个实际地震加速度的最大反应（可以是加速度、速度和位移）和体系的自振特征（自振周期或频率和阻尼比）之间的函数关系。工程中常用到反应谱的概念，如，我们目前采用的是基于反应谱的抗震设计方法、在静力弹塑性分析的时候我们还需要用到反应谱、在动力时程分析选择地震波的时候，我们还常需要以规范的设计反应谱为参考，要求选择的地震波的反应谱和设计反应谱相比不能偏差过大。2反应谱的理论公式（BasicEquationsofResponseSpectra）图2-1单自由度系统（Single-degree-of-freedomsystems）单自由度地震作用下的动力方程：()0grrrmuucuku+++=(2-1)rrrgmucukumu++=−(2-2)两边同时除以m：rrrgckuuuumm++=−(2-3)令：WelcometomyBlog!作者：崔济东（1988-），男，结构工程专业，博士研究生网站：@163.com222,ckmmξωω==(2-4)将式(2-4)代入(2-3)得：22rrrguuuuξωω++=−(2-5)其中，m：单自由度体系质量gu：地面加速度ru：结构的相对加速度()tgruuu=+：结构的绝对加速度ru：结构的相对速度ru：结构的相对位移c：结构的阻尼系数k：结构的刚度ξ：结构阻尼比ω：结构圆频率从公式(2-5)可知，结构的地震动响应只和3个变量有关：地震加速度记录（gu）、结构的阻尼比（ξ）和无阻尼结构体系的圆频率（ω）。因此对于一个给定的地震动，结构的位移响应ru是圆频率（ω）和阻尼比（ξ）的函数。根据反应谱的概念，对于特定的地震波，只要选定阻尼比ξ，结构的最大响应（包括，速度、位移和加速度）是结构频率ω的函数，对一条特定的地震波，圆频率（ω）取不同的值进行动力时程分析，将获得响应最大值作为纵坐标，圆频率（ω）为横坐标绘图，就得到反应谱曲线。WelcometomyBlog!作者：崔济东（1988-），男，结构工程专业，博士研究生网站：@163.com33常用的地震反应谱（CommonlyusedResponseSpectra）3.1反应谱（ResponseSpectra）当最大响应分别取相对位移、相对速度、绝对加速度时，我们可获得以下反应谱：相对位移反应谱：(),maxrSDuξω=相对速度反应谱：(),maxrSVuξω=绝对加速度反应谱：(),maxmaxtgrSAuuuξω==+3.2伪反应谱（Pseudo-ResponseSpectra）另外，工程中还常用到伪反应谱。所谓伪反应谱是指，当我们获得相对位移位移反应谱(),SDξω后，通过以下公式获得伪相对速度反应谱、伪绝对加速度反应谱：伪相对速度反应谱：()(),,PSVSDξωωξω=伪绝对加速度反应谱：()()2,=,PSASDξωωξω事实上，在基于强度的设计方法里，常用的是伪绝对加速度反应谱(),PSAξω，而不是绝对加速度反应谱(),SAξω。原因是，我们基于反应谱的设计方法实际上是一种等效静力设计方法。所谓等效静力法的意思是，结构在地震作用下是一个动力过程，但是动力方程太复杂，还是希望采用一种静力的思维方式（Fku=）来设计结构，只要保证设计出来的结构其变形（/Fk）与结构在真实地震动作用下的变形ru相等就可以了。以单自由度为例进行说明，如下公式是单自由度的地震加速度作用下的动力方程：()0grrrmuucuku+++=将上式移项可得：()grrrmuucuku−+−=假设上式中结构的位移响应ru为真实地震动作用下的值，则rku对应一个等效静力，其左边除了绝对加速度产生的惯性力()grmuu+外，还存在一个阻尼项rcu。WelcometomyBlog!作者：崔济东（1988-），男，结构工程专业，博士研究生网站：@163.com4如果我们的设计反应谱为绝对加速度反应谱，也就是说采用()grmuu+（即设计内力取结构的真实惯性力），那么在给定k（设计时候给定截面尺寸、从而确定构件的刚度）的情况下，按内力()grmuu+设计的构件，其在真实地震动作用下的变形和按静力思维获得的变形()grmuu+/k不相同。或者换句话来说，按()grmuu+设计的结构，其是否能承受预期的地震动是不准确的。回想我们做结构设计的时候，我们确实都采用反应谱法计算力，并直接用计算出来的力进行配筋了，并没有考虑到阻尼项rcu对力进行修正。那么，问题出在哪？设计内力不取()grmuu+，那么应该取什么。我们可以反过来思考，为了保证设计出来的结构其变形（/Fk）与结构在真实地震动作用下的变形ru相等，则设计内力必须为rFku=。对于单自由度体系，由公式(2-4)可知，2kmω=。则设计内力应该为2rFmuω=。由于动力时程结果有很多点，设计时我们关心的是最大响应，则有：()22max,rFmumSDωωξω==(3-1)由伪加速度反应谱的公式可以得：(),FmPSAξω=(3-2)从公式(3-2)可知，只要我们采用伪加速度反应谱，以(),FmPSAξω=为设计内力，那么设计出来的结构就可以承受该地震。因此，一般情况，规范的设计反应谱是绝对加速度反应谱，而且应该是基于伪绝对加速度反应谱建立。对于多自由体系，其基本概念也是一样的，只不过是多了振型分解与组合的过程。同时我们必须注意，上述阐述都是以结构相对位移ru为基础考虑的。如果我们比较关心的是真实的绝对加速度或者相对速度，那么在使用规范反应谱的时候就要注意。3.3反应谱和伪反应谱的关系（RelationbetweenResponseSpectraandPseudo-ResponseSpectra）任意荷载作用下单自由度的响应可以用杜哈梅积分（Duhamel’sintegral）来计算：WelcometomyBlog!作者：崔济东（1988-），男，结构工程专业，博士研究生网站：@163.com5()()()()01sindttddutpetdmξωττωττω−−=−∫(3-3)将荷载()pτ替换()gmuτ−，()ut替换为()rut将可得地震作用下单自由度体系的位移响应：()()()()01sindttrgddutuetdξωττωττω−−=−−∫(3-4)则位移反应谱和加速度反应谱分别为：()()1,maxmaxrdSDuStmξωω==−(3-5)()()()()22,maxmax122trSAuutCtξωωξξω==−+(3-6)其中，()()()()0sindttgdStuetdξωττωττ−−=−∫()()()()0cosdttgdCtuetdξωττωττ−−=−∫21dωωξ=−，为有阻尼结构的自振频率从公式（3-6）可以知，当阻尼比0ξ=时，(),SAξω=()()22max,rutSDωωξω=，即当不考虑阻尼的时候，伪反应谱和反应谱相等。当考虑阻尼的时候，阻尼越大，伪反应谱和反应谱相差越大。4反应谱的数值计算方法与程序（NumericalmethodsandProgramforResponseSpectra）有了上面的概念之后，我们就可以计算反应谱了。对于一般的加速度时程，常采用数值计算方法计算反应谱。数值计算方法又分为多种，有频域的有时域的。常用的时域计算方法有：精确逐步积分算法、常加速度法、线性加速度法、中心差分法、Newmark法等。目前常用的地震波反应谱计算软件有SeismoSignal，该软件可以利用教育邮箱免费申请使用。利用数值计算方法，我们也可以自己编制地震波反应谱计算程序。本文，编制了地震反应谱分析程序—SPECTR，用于批量计算反应谱，程序界面如下：WelcometomyBlog!作者：崔济东（1988-），男，结构工程专业，博士研究生网站：@163.com6图4-1SPECTR反应谱分析程序SPECTR除了提供反应谱计算外，还可以对加速度时程进行基线修正和积分。SPECTR是免费的，可以在我的网站：进行下载，关于SPECTR的更多信息，欢迎到网站查看。WelcometomyBlog!作者：崔济东（1988-），男，结构工程专业，博士研究生网站：@163.com75小结（Conclusions）总结了地震反应谱的基本概念、基本公式、对反应谱和伪反应谱的概念进行了阐述，并编制了地震反应谱计算软件SPECTR。如有错误或遗漏，欢迎大家批评指正。我的邮箱：jidong_cui@163.com我的博客：参考文献（References）[1]ChopraAK.DynamicsofStructures:TheoryandApplicationstoEarthquakeEngineering.Prentice-Hall:NewJersey,2012.[2]CloughRW,PenzienJ.DynamicsofStructures.McGraw-Hill:NewYork,1993