第一章 复数与复变函数

复变函数与积分变换主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组二零零七年六月大学数学多媒体课件2020/1/182参考用书《复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.52020/1/183目录第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的级数表示第五章留数及其应用第六章傅立叶变换第七章拉普拉斯变换第一章复数与复变函数2020/1/184第一章复数与复变函数内容提要：复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广．2020/1/185第一章复数与复变函数1.1复数1.2复数的三角表示1.3平面点集的一般概念1.4无穷大与复球面1.5复变函数本章小结思考题2020/1/186第一节复数一、复数的基本概念(Re),Rexzalzx称为的实部记(Imaginary),Imyzzy称为的实部记2,zi例如：Re2,Im1zz则00,,xyziy当且时则称为纯虚数；0,yzx特别地，当时则为实数；1xyxiy定义：设与都是实数，称为复数，zxiy记为：2020/1/187111222zxiyzxiy定义2：设两复数与，121212zzxxyy则，1212ReRe,ImImzzzz即二、复数的代数运算111222zxiyzxiy设复数与，则1.复数的和、差、积、商121212()(zzxxiyy+)和与差：积：1212121221()()zzxxyyixyxy商：1121221122222222222()(),0zxxyyxyxyizzxyxy复数的运算满足交换律、结合律、分配律．2020/1/1882．共扼复数及性质zxiyxiyzz定义3：设复数，则称复数为的，记做共轭复数重要性质：111212121222(1),,zzzzzzzzzzzz(2)zz222(3)(Re)(Im)zzzzz(4)2Rezzz,2Imzziz复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用2020/1/189•例1．计算复数3223ii解：112122112222222222()()zxxyyxyxyizxyxy222232(2)32(2)332323ii法一（商的公式）法二（共轭性质）______11212___22222||zzzzzzzzz22(32)(23)(66)(49)(23)(23)23iiiiii应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算中要灵活运用共轭2020/1/1810•例2．22)()0,,.xyixyxy设（求实数解：220,0xyxy由题意得12.14xxyy解得：或•例3．13,Re(),Im().1izzzzzii设复数求与解：131izii因为3(1)31()(1)(1)22iiiiiiii2231315Re,Im,()()22222zzzz所以2020/1/1811•例4．111222,zxiyzxiy设为两个任意复数，证明：1212122Rezzzzzz证明：121211231122()()()()zzzzxiyxiyxiyxiy1212211212122112()()()()xxyyixyxyxxyyixyxy2121212()2Rexxyyzz12121212zzzzzzzz12122Re()2Re()zzzz证法二：2020/1/1812第二节复数的表示法一、复平面定义：()()xy由实轴轴，虚轴轴按直角坐标系构成的平面，称为复平面（或z平面）o实轴虚轴复平面(,)Mxyzxiy在复平面内任一点与复数是一一对应xiyyx复数的模：22zxyrz复数的幅角：Argz主幅角：(,]argzarg2(0,1,2,)Argzzkk即：一复数的辐角Argz是多值的2020/1/1813二、复数的表示法1．复数的向量表示法OMzxiy因此22,zrxytan()yArgzx显然有不等式：,,,;xzyzzxyzxy22zzzzzo实轴虚轴复平面xiyxyM2112zzzz表示与的距离1z2z复数、复平面上点、向量之间一一对应12121212,zzzzzzzz共轭复数之间的几何关系：zxiyzxiyx与，关于轴对称1zxyo,argargzzzz且有：2020/1/18142．复数的三角表示法利用直角坐标与极坐标的关系：cos,sinxryr复数的三角表示式：(cossin)(cossin)zxiyrizi(cossin)[cos()sin()]zriri3．复数的指数表示法利用欧拉公式：cossiniei复数的指数表示式：,iizzereizze注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：111222(cossin)(cossin),riri则可以推出：12,rr122,kk其中为整数22cos,sin,arctan(cossin)xryryrxyxzxiyzricossinieiizre2020/1/1815•例1．122zi将化为三角表示式和指数表示式.解：4,zr因为辐角在第三象限，则235arctanarctan3661223tan,(,),212yx21tantan(),(0,),212于是554[cos()sin()]66zi564ie主幅角值的确定：argtan,0,0,0,arg20arctan,0,0,0,0yxyxxyzzyxyxxy当当0当当2020/1/1816练习32zi将化为三角表示式和指数表示式.|32|13,ri22arctanarctan332213[cos(arctan)sin(arctan)]33zi2(tan)34arcie模主辐角解：•例2．32xy将直线方程化为复数表示式.解：2,zzx由于2zziy1(),2xzz可得：1()2yzzi32xy代入得：13()()222zzzzi()3()4izzzzi化简得：(3)(3)4izizi即：为复数形式的直线方程复数形式的直线方程为()0fz2020/1/1817•例3．111222zxiyzxiy通过两点与的直线用复数的参数方程来表示解：1122(,)(,)xyxy通过两点与的直线方程为112121yyxxyyxx参数方程为121121()()()xxtxxtyytyy由参数式得复数形式参数方程为121(),zztzz()t(),()xxttDyyt若平面上曲线的参数方程为：则定义()(),zxtiyttD为复数形式的参数方程.定义：复数形式的参数方程111222zxiyzxiy所以连接与的直线段的参数方程为:121(),01zztzzt12121()zzzzzzt记住：过与两点的直线段的参数方程为:2020/1/1818oxy•例4．求下列方程所表示的曲线(1)2,zi(2)22,ziz(3)Im()4.iz解：122zii（）表示与点距离为的点的轨迹，2i即圆心为，半径为的圆ii2,zi2zxiyzi化为直角坐标方程：将代入中，得：()2xiyi，22(1)2xy即：，22(1)4.xy化简得：(2)2222zizi到与距离相等点的轨迹22i即表示曲线是连接点和的直段的垂直平分线，yx化为直角坐标方程为：(3)Im()4.izzxiy设，(1)izxyi那么14y代入得：，3y即：2020/1/1819三、复数的三角表示及指数表示作乘除法111111(cossin)||,izzze设有两复数222222(cossin)||izzze12zz那么121212[(cos()(sinsin)]zzi12()12izze1212,zzzz1212ArgzzArgzArgz即：模辐角定理1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，幅角等于它们的幅角之和．说明：1212(1)ArgzzArgzArgz多值函数相等的理解：由于幅角是多值的，（）理解为：12(2)zz当用向量表示复数时，表示乘积的向量是1212121212[(coscossinsin)(cossinsincos)]zzi对于左端的任一个值，右端有一值与它对应，反之也一样；例如：1212kkkZkkk若，，，则成立1212kkkZkkk若，，，则2不成立122,zArgzz从表示的向量旋转一个角度并伸长(缩短)到陪得到.2020/1/1820例如：21,izie若22,izze()212izzizze则1222zzz只由通过逆时针旋转，没伸缩.0180.zz再如，相当于通过逆时针旋转而得121()111212(3),nniiinnnnzrezrezzzrrre若，可得定理2：两复数的商的模等于它们模的商，幅角等于被除数与除数的幅角之差．证明：111izze设，222,izze1(0)z1212()212121||||iiizzezezzez则2211,zzzz2211zArgArgzArgzz即：模辐角2020/1/1821•例5．用三角表示式和指数表示式计算下列复数(1)(13)(3),ii2(2).12ii解：3132(cossin)233iiie(1)因为565532[cos()sin()]266iiie2(13)(3)4[cos()sin()]4422iiiiei所以1argtan211(2)25(cosargtansinargtan)522iiieargtan(2)125(cosargtan(2)sinargtan(2))5iiie211[cos(argtanargtan2)sin(argtanargtan2)]1222iii所以1(argtanargtan2)2ie2020/1/1822•例6．1212.zzi已知等边三角形的两个顶点为与，求它的另一个顶点解：1z2z3z3z33121()izzzze如右图所示，由题意得：(cos()sin())(21)33ii3113133313()()()()22222222zzii解得：2020/1/1823四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式1．乘方