第一章 复数与复变函数――工程数学

2020/1/181目录第二章解析函数第三章复变函数的积分第九章拉普拉斯变换第一章复数与复变函数复变函数与积分变换2020/1/183第一章复数与复变函数复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广．2020/1/184第一章复数与复变函数1.1复数1.2复数的三角表示1.3平面点集的一般概念1.4无穷大与复球面1.5复变函数2020/1/185第一节复数一、复数的基本概念(Re),Rexzalzx称为的实部记(Imaginary),Imyzzy称为的虚部记2,zi例如：Re2,Im1zz则00,,xyziy当且时则称为纯虚数；0,yzx特别地，当时则为实数；1xyxiy定义：设与都是实数，称为复数，zxiy记为：211iii称为虚数单位，且定义或2020/1/186111222zxiyzxiy定义2：设两复数与，121212zzxxyy则，1212ReRe,ImImzzzz即二、复数的代数运算111222zxiyzxiy设复数与，则1.复数的和、差、积、商、模121212()(zzxxiyy)和与差：积：1212121221()()zzxxyyixyxy商：1121221122222222222()(),0zxxyyxyxyizzxyxy复数的运算满足交换律、结合律、分配律．模：22xyzxiy称为复数的模，.z记作2020/1/1872．共扼复数及性质zxiyxiyzz定义3：设复数，则称复数为的，记做共轭复数重要性质：111212121222(1),,zzzzzzzzzzzz(2)zz222(3)(Re)(Im)zzzzz(4)2Rezzz,2Imzziz复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用2020/1/188例1．计算复数3223ii解：112122112222222222()()zxxyyxyxyizxyxy222232(2)32(2)332323ii法一（商的公式）法二（共轭性质）______11212___22222||zzzzzzzzz22(32)(23)(66)(49)(23)(23)23iiiiii应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算中要灵活运用共轭2020/1/189例2．22)()0,,.xyixyxy设（求实数解：220,0xyxy由题意得12.14xxyy解得：或•例3．13,Re(),Im().1izzzzzii设复数求与解：131izii因为3(1)31()(1)(1)22iiiiiiii2231315Re,Im,()()22222zzzz所以2020/1/1810例4．111222,zxiyzxiy设为两个任意复数，证明：1212122Rezzzzzz证明：121211221122()()()()zzzzxiyxiyxiyxiy1212211212122112()()()()xxyyixyxyxxyyixyxy2121212()2Re.xxyyzz12121212zzzzzzzz12122Re()2Re().zzzz证法二：2020/1/1811第二节复数的三角表示一、复平面定义：()()xy由实轴轴，虚轴轴按直角坐标系构成的平面，称为复平面（或z平面）o实轴虚轴复平面(,)Mxyzxiy在复平面内任一点与复数是一一对应xiyyx复数的模：22zxyrz复数的幅角：Argz主幅角：(,]argzarg2(0,1,2,)Argzzkk即：一复数的辐角Argz是多值的2020/1/1812二、复数的表示法1．复数的向量表示法OMzxiy因此22,zrxytan()yArgzx显然有不等式：,,,;xzyzzxyzxy22zzzzzo实轴虚轴复平面xiyxyM2112zzzz表示与的距离1z2z复数、复平面上点、向量之间一一对应12121212,zzzzzzzz共轭复数之间的几何关系：zxiyzxiyx与，关于轴对称1zxyo,argargzzzz且有：2020/1/18132．复数的三角表示法利用直角坐标与极坐标的关系：cos,sinxryr复数的三角表示式：(cossin)(cossin)zxiyrizi(cossin)[cos()sin()]zriri3．复数的指数表示法利用欧拉公式：cossiniei复数的指数表示式：,iizzereizze注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：111222(cossin)(cossin),riri则可以推出：12,rr122,kk其中为整数22cos,sin,arctan(cossin)xryryrxyxzxiyzricossinieiizre2020/1/18例1．122zi将化为三角表示式和指数表示式.解：令主辐角为，则2tan+,12yx（）(,),223arctanarctan312于是554[cos()sin()]66zi564.iez566主幅角值的确定：argtan,0,0,0,arg20arctan,0,0,0,0yxyxxyzzyxyxxy当当0当当练习32zi将化为三角表示式和指数表示式.|32|13,ri22arctanarctan332213[cos(arctan)sin(arctan)]33zi2(tan)34.arcie主辐角解：模2020/1/18例2．32xy将直线方程化为复数表示式.解：2,zzx由于2zziy1(),2xzz可得：1()2yzzi32xy代入得：13()()222zzzzi()3()4izzzzi化简得：(3)(3)4izizi即：为复数形式的直线方程11[(),()](,)022fzzzzFzzi定义：复数形式的一般方程为若平面上曲线的一般方程为：(,)0fxy则定义为复数形式的一般方程。2020/1/1817例3．111222zxiyzxiy通过两点与的直线用复数的参数方程来表示解：1122(,)(,)xyxy通过两点与的直线方程为112121yyxxyyxx参数方程为121121()()()xxtxxtyytyy由参数式得复数形式参数方程为121(),zztzz()t(),()xxttDyyt若平面上曲线的参数方程为：则定义()(),zxtiyttD为复数形式的参数方程.定义：复数形式的参数方程111222zxiyzxiy所以连接与的直线段的参数方程为:121(),01zztzzt12121()zzzzzzt记住：过与两点的直线段的参数方程为:2020/1/1818例5．()cossin(02)zzttitt方程表示怎么样的曲线？cos,sinxtyt02t参数方程为解：•例4．(1)01zitt方程，表示怎样的曲线？22021.txy当时，,(01)xttyt解：直线的参数方程一般方程为12(1)0101zittzzi故，表示过点，的直线段.,yx2020/1/1819oxy例4．求下列方程所表示的曲线(1)2,zi(2)22,ziz(3)Im()4.iz解：122zii（）表示与点距离为的点的轨迹，2i即圆心为，半径为的圆ii2,zi2zxiyzi化为直角坐标方程：将代入中，得：()2xiyi，22(1)2xy即：，22(1)4.xy化简得：(2)2222zizi到与距离相等点的轨迹22i即表示曲线是连接点和的直段的垂直平分线，yx化为直角坐标方程为：(3)Im()4.izzxiy设，(1)izxyi那么14y代入得：，3y即：2020/1/1820三、复数的三角表示及指数表示作乘除法111111(cossin)||,izzize设有两复数222222(cossin)||izzize12zz那么121212[(cos()sin()]zzi12()12izze1212,zzzz1212ArgzzArgzArgz即：模辐角定理1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，幅角等于它们的幅角之和．说明：1212(1)ArgzzArgzArgz多值函数相等的理解：由于幅角是多值的，（）理解为：1212121212[(coscossinsin)(cossinsincos)]zzi对于左端的任一个值，右端有一值与它对应，反之也一样；例如：1212kkkZkkk若，，，则成立1212kkkZkkk若，，，则2不成立2020/1/1821定理2：两复数的商的模等于它们模的商，幅角等于被除数与除数的幅角之差．证明：111izze设，222,izze1(0)z1212()212121||,||iiizzezezzez则2211,zzzz2211.zArgArgzArgzz即：模辐角12(2)zz当用向量表示复数时，表示乘积的向量是12,zArgz从表示的向量旋转一个角度2z并伸长(缩短)到陪得到.1z2z11z212zz12zz2020/1/1822例5．用三角表示式和指数表示式计算下列复数(1)(13)(3),ii2(2).12ii解：3132(cossin)233iiie(1)因为565532[cos()sin()]266iiie2(13)(3)4[cos()sin()]44.22iiiiei所以1argtan211(2)25(cosargtansinargtan)522iiieargtan(2)125(cosargtan(2)sinargtan(2))5iiie211[cos(argtanargtan2)sin(argtanargtan2)]1222iii所以2cossin.22iie2020/1/1823四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式1．乘方公式,izre设复数nz则乘方(cossin)nrnin1z当时，有(cossin)cossinninin这公式称棣摩弗公式．2．开方公式(cossin),izreri设复数则11222[cossin],kinnnnkkwzrirenn0,1,2,,1kn0,1,2,3,1knn(1)当时，得个相异的根,,1,knn当时，这些根又重复出现.nzn