第4章_晶体光学A_new

1*光学各向异性介质的典型代表是某些固态晶体。本章将讨论光波在光学各向异性晶体中的传播规律。第第44章章晶体光学晶体光学前言*所谓各向异性，是指介质的光学性质在不同的方向上有不同的值。以晶体的介电常数为例说明。*所谓各向同性，是指介质的光学性质与方向无关。4.1介电张量4.2单色平面波在晶体中的传播4.3单轴晶体和双轴晶体的光学性质4.4晶体光学性质的图形表示4.5平面波在晶体表面的反射和折射4.6晶体光学器件第第44章章晶体光学晶体光学24.7偏振光和偏振器件的矩阵表示4.8偏振光的干涉4.9电光效应4.10声光效应4.11旋光现象4.12磁致旋光效应第第44章章晶体光学晶体光学*矢量（一阶张量):例如：速度，电场强度等。当坐标轴选定后，它由这些轴上的三个分量完全确定。具有确定的数值和方向。4.04.0张量的基础知识（补充）1.什么是张量？*标量(零阶张量):例如：物体的密度，温度等。与测量方向无关的量，由给定的某个数值完全确定。*物理学中有几类不同的量：标量，矢量和张量3其中：电导率σ是标量，且4.04.0张量的基础知识（补充）张量的引入：以导体的电导率为例*若导体是各向同性的：EJGGσ=EJGG//3,2,1,==iEJiiσ分量形式为：JE电场E与导体作用时，导体内产生的电流密度为J：其中：都是常数。J的每个分量都和E的三个分量成线性关系。J和E的方向不再平行4.04.0张量的基础知识（补充）*若导体是各向异性的：333232131332322212123132121111EEEJEEEJEEEJσσσσσσσσσ++=++=++=,...,,131211σσσ－物理意义电导率σ与方向有关，J和E的关系如下：JE4一般地，下标的数目等于张量的阶数4.04.0张量的基础知识（补充）这个系数表就称为二阶张量，而就是该张量的分量。为了确定各异同性导体的电导率σ，需要给出上面方程组右边的九个系数，它们可以写成：,...,,131211σσσ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211σσσσσσσσσ－下标的物理意义其中：都是常数。就形成二阶张量4.04.0张量的基础知识（补充）,...,,131211TTT333232131332322212123132121111qTqTqTpqTqTqTpqTqTqTp++=++=++=,...,,131211TTT⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211TTTTTTTTT一般情况下，如果量T以如下方式联系两个矢量p(p1,p2,p3)和q(q1,q2,q3):5也可以写成：4.04.0张量的基础知识（补充）张量T与两个矢量p和q的关系可以写成:⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛321333231232221131211321qqqTTTTTTTTTppp习惯上可去掉求和符号而变成简化形式：3,2,1,,==∑jiqTpjjiji3,2,1,,==jiqTpjiji类似地可形成高阶张量4.04.0张量的基础知识（补充）2.张量的变换其中aij是由旧坐标系变换到新坐标系的变换矩阵，由新旧坐标轴之间夹角的余弦给出。*张量是一种物理量，在坐标变换时，其分量按下表的变换规律进行。*在坐标变换时，改变的只是张量的表示方式（分量的数值变），而物理量本身并没有改变。64.04.0张量的基础知识（补充）3.对称张量和反对称张量∗一个二阶张量[Tij],如果Tij=Tji,则该张量为对称张量，其对任何坐标系只有6个独立分量；如果Tij=－Tji，则该张量为反对称张量，其独立分量数只有3个。∗任何一个二阶非对称张量都可以分解为一个二阶对称张量和一个二级反对称张量之和。Tij=(Tij+Tji)/2+(Tij-Tji)/2∗一个张量的性质是对称的或反对称的，取决于物理性质本身，与坐标轴的选取无关。4.04.0张量的基础知识（补充）4.二阶对称张量的示性曲面*二阶对称张量可用二阶曲面表示。一般的二阶曲面方程为利用：3,2,1,,1==jixxsjiij结合Sij=Sji可得：1222133132232112233322222111=+++++xxsxxsxxsxsxsxs－椭球面或双曲面lljjxax′=,kkiixax′=进行坐标变换：1=′′lklikiijxxaas1=′′′lkklxxs其中是新旧坐标系中系数的变换关系，与二阶张量的变换规律一致。ijljkiklsaas=′由二阶曲面的变换可知相应的二阶对称张量的分量变换。74.14.1介电张量介电张量4.1.1各向异性介质的介电张量与各向同性介质的光学一样，分析晶体中光波的传输问题，将以麦克斯韦方程组和物质方程为基础。各向异性晶体：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛==zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxrEEEEDεεεεεεεεεεεε00GG⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛zzzyzxyzyyyxxzxyxxεεεεεεεεεjijiEDεε0=简记为：9个分量，两个下标i和j，二阶张量,联系矢量D和E，在一般情况下，这两个矢量有不同方向。4.1.2介电张量的对称性应用电磁场能量守恒定律，可以证明各向异性晶体的介电张量是二阶对称张量。,jiijεε=即：它有6个独立的分量。经主轴变换后，只有3个不为零的分量，其矩阵对角化为：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxεεε000000称为主介电系数。在主轴坐标系中：zyxεεε,,),,(,0zyxiEDiii==εε在主轴方向上D和E平行84.1.2介电张量的对称性当晶体具有不同的对称性时，其介电张量的独立分量数目还要减少。⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxεεε000000各向同性介质、立方晶系：zyxεεε==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxεεε000000正交、单斜、三斜晶系：zyxεεε≠≠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxεεε000000四方、六方、三方晶系：zyxεεε≠=4.24.2单色平面波在晶体中的传播单色平面波在晶体中的传播4.2.1相速度和光线速度1.晶体中光波的结构在晶体中传播的单色平面波：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)(exp0000rkcntiHDEHDEGGGGGGGGωk0为波法线方向的单位矢量,即等相面的法线方向，它与等相面或波阵面相垂直。9单色平面波有：4.2.1相速度和光线速度0)/(,kcnikiitGGωω=→∇−→∂∂应用上述算符,对没有自由电荷存在的均匀透明介质中的麦克斯韦方程组进行运算DiHkitDHGGGGGω−=×→∂∂=×∇BiEkitBEGGGGGω=×→∂∂−=×∇(1)0DnckHGGG=×(2)00HnckEGGGμ−=×(1)D垂直于H,k0(2)H垂直于E,k0(3)k0与D、H垂直4.2.1相速度和光线速度类似可得：0,000=⋅=⋅HkDkGGGG}⇒,SEH=×s0垂直于E,H(4)由H垂直于E、D、k0、s0，∗一般情况E、D不在同一方向上。∗于是：10*DHDEkSEkS⊥JKJKJJKJKJKKJKKJK，、、、、、、共面co(planar)光波结构*,kDSE⊥⊥KJKJKJK,,*kSDE=KJKJKJK4.2.1相速度和光线速度一般来说，晶体中s0和k0方向不同，即光波能量传播方向和等相位面传播方向不同。这是晶体光学中的一个重要结论。2．能量密度4.2.1相速度和光线速度00)(2)(221kHEcnkHEcnDEweGGGGGGGG⋅×=×⋅=⋅=电、磁能量密度分别为:00)(2)(221kHEcnkEHcnHBwmGGGGGGGG⋅×=×⋅=⋅=总电磁能量密度:0kScn⋅=+=113．相速度和光线速度∗相速度是等相位面的传播速度，其表示式为4.2.1相速度和光线速度00ppckknυυ==GGG00rrSsswυυ==GGGG00cosprrskυυυα=⋅=GG其中:α为s0和k0之间的夹角.∗光线速度是能量的传播速度，其方向为S的方向，大小等于S的数值除以能量密度，即4.2.24.2.2菲涅耳公式由前面所得的方程(1)和(2)可得:)()(002000202EkknEkkcnDGGGGGGG××−=××−=εμ])([0020kEkEnDGGGG⋅−=ε1.波法线菲涅耳公式结合主轴坐标系中的:),,(,0zyxiEDiii==εε])([])([000200002iiiiiikEkDnkEkEnDGGGG⋅−=⋅−=εεεε124.2.24.2.2菲涅耳公式),,(,11)(2000zyxinkEkDiii=−⋅=εεGG结合可得:)0:(000≡Σ≡⋅iiikDDk即GG0111111)(22022022000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+−+−⋅nknknkEkzzyyxxεεεεGG0111111220220220=−+−+−nknknkzzyyxxεεε波法线菲涅耳公式4.2.24.2.2菲涅耳公式0111111220220220=−+−+−nknknkzzyyxxεεε波法线菲涅耳公式∗这是一个n2的二次方程，给定ko的方向，一般有两个不相等的实根(n’,n’’)。∗预示双折射现象的存在,即在晶体中对应于光波的一个传播方向，可以有两种不同的折射率（双折射）或两种不同的光波相速度。∗进一步分析表明，这两个光波都是线偏振光，且它们的D矢量互相垂直。134.2.24.2.2菲涅耳公式0111111220220220=−+−+−rzzryyrxxnsnsnsεεε用类似的方法可推导在给定光线方向后,光线折射率(或光线速度)与主介电常数之间的关系式:2.光线菲涅耳公式在晶体中对于一个给定的光线方向上，可以有两个不同的光线折射率,它们对应的E’和E’’是相互垂直的。4.3单轴晶体和双轴晶体的光学性质按光学性质来分类:光学各向同性晶体单轴晶体双轴晶体4.3.1晶体的光学分类按几何结构来分类:立方晶系三方、四方、六方晶系正交晶系单斜晶系三斜晶系双折射现象141.光轴的基本概念*单轴晶体:只有一个光轴方向。4.3.1晶体的光学分类晶体中存在一个特殊的方向,当光线在晶体内沿着这一特殊方向传播时不发生双折射,这样的特殊方向称为晶体的光轴.注意:光轴不是一条直线,而是一个方向.凡是与这方向平行的直线都是光轴.*双轴晶体:只有二个光轴方向。方解石晶体双折射现象2.各向同性晶体立方晶系晶体属于光学各向同性晶体。在主坐标系中，。4.3.1晶体的光学分类3.单轴晶体zyxεεε==六/四/三方晶系的晶体属于单轴晶体。在主坐标系中，。zyxεεε≠=正交/单斜/三斜晶系属于双轴晶体。在主坐标系中，。4.双轴晶体zyxεεε≠≠154.3.2光在各向同性介质中的传播重根0nnn′′′==20xyznεεε===结合各向同性介质或立方系晶体中:可得:()()()()]xxyyzzxyxyyzyzzxzxxyznkkknkkkkkkεεεεεεεεεεεε42222220000022220000⎡++−+⎣+++++=0沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率n0，或者说，光波折射率与传播方向无关。∗由波法线菲涅耳公式可得:0)(2202=−nn}⇒20xyznεεε===0xxyyzzDkDkDk++=1,2,3iioiDEiεε==4.3.2光在各向同性介质中的传播0000=++zzyyxxEkEkEkEkEkGGGG⊥=⋅00:,0即00//s,//kDEGGGG16在各向同性介质或立方系晶体中，沿任意方向传播的光波，允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态(两偏振方向正交)，相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。4.3.2光在各向同性介质中的传播结论:三个主折射率:4.3.3光在单轴晶体中的传播1.主折射率由可得:zyxεεε≠=zzyyxxnnnεεε===,,*的晶体:正单轴晶体enn0ezzxyxnnnnn=====εε,0其中:n0和ne称为单轴晶的主折射率*的晶体:负单轴晶体enn01