导数中求参数的取值范围

1导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法1.分离参数，恒成立转化为最值问题2.分离参数，结合零点和单调性解不等式3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意1已知函数-xfxeax（aR，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数fx的单调性；（Ⅱ）若1a，函数2xgxxmfxexx在2,上为增函数，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）函数fx的定义域为R，xfxea．当0a时，0fx，∴fx在R上为增函数；当0a时，由0fx得lnxa，当,lnxa时，0fx，∴函数fx在,lna上为减函数，当ln,xa时，0fx，∴函数fx在ln,a上为增函数……4分（Ⅱ）当1a时，2xxgxxmexexx，∵gx在2,上为增函数；∴10xxgxxemem在2,上恒成立，即11xxxeme在2,上恒成立，…………………………6分令11xxxehxe，2,x，则2221xxxxexeehxe221xxxeexe，令2xLxex，10xLxe在2,上恒成立，即2xLxex在2,上为增函数，即2240LxLe，∴0hx，即11xxxehxe在2,上为增函数，∴222121ehxhe，∴22211eme，所以实数m的取值范围是2221,1ee．………………12分22．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于lnx－ax－1x＋1＞0.设g(x)＝lnx－ax－1x＋1，则g′(x)＝1x－2ax＋12＝x2＋21－ax＋1xx＋12，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－a－12－1，x2＝a－1＋a－12－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．3．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x22.解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．②设a0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b0且blna2，则f(b)a2(b－2)＋a(b－1)2＝ab2－32b0，3故f(x)存在两个零点．③设a0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．若a≥－e2，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点．若a－e2，则ln(－2a)1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x22等价于f(x1)f(2－x2)，即f(2－x2)0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．所以当x1时，g′(x)0，而g(1)＝0，故当x1时，g(x)0.从而g(x2)＝f(2－x2)0，故x1＋x22.4．已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．解：(1)由已知得f′(x)＝a－1x＝ax－1x(x＞0)．当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，4∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．当a＞0时，由f′(x)＜0，得0＜x＜1a，由f′(x)＞0，得x＞1a，∴f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增，即f(x)在x＝1a处有极小值．∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，当a＞0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，解得a＝1，∴f(x)≥bx－2⇒1＋1x－lnxx≥b，令g(x)＝1＋1x－lnxx，则g′(x)＝lnx－2x2，令g′(x)＝0，得x＝e2．则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－1e2，即b≤1－1e2，故实数b的取值范围为－∞，1－1e2．5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a0，则当x∈0，1a时，f′(x)0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)0.所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a0时，f(x)在x＝1a处取得最大值，最大值为5f1a＝ln1a＋a1－1a＝－lna＋a－1.因此f1a2a－2等价于lna＋a－10.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)．6．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于lnx－ax－1x＋1＞0.设g(x)＝lnx－ax－1x＋1，则g′(x)＝1x－2ax＋12＝x2＋21－ax＋1xx＋12，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－a－12－1，x2＝a－1＋a－12－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．7.(2016·山东高考)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R．(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．解：(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．所以g′(x)＝1x－2a＝1－2axx．6当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；当a＞0，x∈0，12a时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈12a，＋∞时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a，＋∞．(2)由(1)知，f′(1)＝0．①当a≤0时，f′(x)单调递增，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．②当0＜a＜12时，12a＞1，由(1)知f′(x)在0，12a内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，当x∈1，12a时，f′(x)＞0．所以f(x)在(0,1)内单调递减，在1，12a内单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．③当a＝12时，12a＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．④当a＞12时，0＜12a＜1，当x∈12a，1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a的取值范围为12，＋∞．8.．(2016·海口调研)已知函数f(x)＝mx－mx，g(x)＝3lnx．(1)当m＝4时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若x∈(1，e](e是自然对数的底数)时，不等式f(x)－g(x)＜3恒成立，求实数m的取值范围．7解：(1)当m＝4时，f(x)＝4x－4x，f′(x)＝4＋4x2，f′(2)＝5，又f(2)＝6，∴所求切线方程为y－6＝5(x－2)，即y＝5x－4．(2)由题意知，x∈(1，e]时，mx－mx－3lnx＜3恒成立，即m(x2－1)＜3x＋3xlnx恒成立，∵x∈(1，e]，∴x2－1＞0，则m＜3x＋3xlnxx2－1恒成立．令h(x)＝3x＋3xlnxx2－1，x∈(1，e]，则m＜h(x)min．h′(x)＝－3x2＋1·lnx－6x2－12＝－3x2＋1·lnx＋6x2－12，∵x∈(1，e]，∴h′(x)＜0，即h(x)在(1，e]上是减函数．∴当x∈(1，e]时，h(x)min＝h(e)＝9e2e－1．∴m的取值范围是－∞，9e2e－2．9.．(2017·福建省质检)已知函数f(x)＝ax－ln(x＋1)，g(x)＝ex－x－1．曲线y＝f(x)与y＝g(x)在原点处的切线