第一节 向量组及其线性组合4-1

第四章向量组的线性相关性教学目的：通过本章的教学使学生理解向量组线性相关性、线性组合、线性表示的概念，会判断向量组线性相关性.掌握向量组的极大无关组和向量组的秩.了解向量空间的概念，熟练掌握向量空间的基和空间中的向量用这个基线性表示.教学要求：会判断向量组的线性相关性；会求向量空间的基和空间中的向量用这个基线性表示.教学重点：向量组线性相关性的判定；向量空间基的求法.教学难点：向量组线性相关性定理的证明.2定义1.,,,21个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为所组成的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念n例如),,3,2,1(n))1(,,32,21(inniin维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量),,,(21nTaaaanaaaa21二、维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：TTTTba,,,n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,,,bann注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.2、n维向量的运算定义2.2设n维向量1)α=β,当且仅当ai=bi(i=1,2,…,n);2)α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);3)kα=(ka1,ka2,…,kan),其中k是数量.α=(a1,a2,…,an);注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的线性运算.β=(b1,b2,…,bn);n维向量的运算律设α,β,γ为n维向量，k、l为实数，0为零向量.1)α+β=β+α;2)α+β+γ=α+(β+γ);3)α+0=α;4)α+(–α)=0;5)1·α=α;6)k(lα)=(kl)α;7)k(α+β)=kα+kβ;8)(k+l)α=kα+lα.例1.1计算设求1）2）3α－β.解α+2β;3α－β＝α+2β＝10,111,01102110120210113011031013012,141.3向量)3(n解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式),,,(21nTaaaa坐标系三、向量空间空间)3(n解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面dczbyaxzyxrT),,(几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面dczbyaxzyx),,(),,(zyxP),,(zyxrT一一对应RxxxxxxxRnnnT,,,),,,(2121bxaxaxaxxxxnnnT221121),,,(叫做维向量空间．n时，维向量没有直观的几何形象．n3n叫做维向量空间中的维超平面．Rnn1n确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角)20(机身的仰角)22(机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需用6维向量),,,,,(zyxa维向量的实际意义n定义若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如维列向量个有矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2an三、向量、向量组与矩阵a2ajana1a2ajan维行向量个又有矩阵类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tm反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.12,,,,mmnnm个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个nmnmTmTT,,,21TmTTB21),,,(21mAbxaxaxann2211线性方程组的向量表示.,,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．，，，组实数，对于任何一给定向量组mmkkkA,,,,:2121定义１.,21个线性组合的系数称为这，，mkkk，称为向量组的一个向量2211mmkkk线性组合四向量组的线性组合mmb2211，使，，一组数如果存在和向量给定向量组mmbA,,,,,:2121.2211有解即线性方程组bxxxmm的线性组合，这时称是向量组则向量Ab向量能由向量组线性表示．bA.),,(),(2121的秩，，的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量bBAAbmm定理1定义２..,,,:,,,:2121这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组BAABBAsm向量组能由向量组线性表示向量组等价．BA若向量组α1,α2,…,αs能由向量组β1,β2,…,βt线性表示，向量组β1,β2,…,βt又能向量组γ1,γ2,…,γp线性表示.则向量组α1,α2,…,αs必能由向量组γ1,γ2,…,γp线性表示.这一结论称为向量组线性表示的传递性.容易证明向量组的等价关系具有反身性、对称性和传递性.使在数存量线性表示，即对每个向能由（和（若记,,,),,2,1().,,,),,,212121mjjjjsmkkksjbABbbbBAmmjjjjkkkb2211,),,,2121mjjjmkkk（),,,21sbbb（从而msmmssmkkkkkkkkk21222211121121),,,（.)(数矩阵称为这一线性表示的系矩阵ijsmkK,AKBRARAB由：有解1212121212,,,,,,,,,,,,,.2,,lmmmlBbbbAaaaAaaaABaaabbbRARAB向量组：能由向量组：定线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，即理1212,,,,,,.mlAaaabbbRARBRAB向量组：与向量组B：等价的充分必要条件是：推论12121212:,,,,,,,,lmlmBbbbAaaaRbbbRaaa设向量组能由向量组：线性表示3理，则:定1212:,,,,,,lmBbbbAaaaKBAKAXBRARAB注意设向量组能由向量组：线性表示有矩阵使方程有解121223493531112TAAAA例题已知矩阵与向量写出矩阵的列向量组与行向量组；能否用的列向量组线性表出？否用的行向量组线性表出？若能表出，则写出表达式。123123123,,113,,358,2,33,,6,,,TTTTaab例题已知，，，，，，，试问当a,b取何值时，可由线性表出，并写出表达式。12121121121sssss例题设可由，，线性表示，但不能由，，线性表示，证明：能由，，，线性表示，但不能由，，线性表示。12121212:,,,,,,:,,.mmnnnAaaanmAaaanEeeenneeeARAn设维向量组构成矩阵，阶单位矩阵的列向量叫做维单位坐标向量。证明维单位坐标向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是例题矩阵：为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若BACBACnssmnmsnssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),,,),,,（（TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa2121222211121121：为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组能由同时，ABC,..的行向量组等价的行向量组与于是的行向量组线性表示，的行向量组能由可知，由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是的每个行，则经初等行变换变成设矩阵BABAABABBA.的列向量组等价列向量组与的，则经初等列变换变成类似，若矩阵BABA.价的方程组一定同解这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称与方程组的解；若方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组能由方程组称方程组的线性组合，就的每个方程都是方程组程组的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组所得到的的各个方程做线性运算对方程组BABAABABAA