大学物理之机械振动

振动（广义）振动：任一物理量(如位移、电流、电场强度、温度等)在某一数值附近周期性变化。振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。机械振动按照振动的形式分类受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动)无阻尼自由谐振动4-1简谐振动运动学简谐振动是最简单最基本的线性振动。1、简谐振动概念：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。简谐振动复杂振动合成分解0cos()xAt运动（振动）方程：一、简谐振动的规律如：弹簧振子模型（理想的谐振动模型）kxOmFkx22dxkxmdt2km2220dxxdt“线性回复力”其通解为：0cos()xAt2220dxxdt)cos(dd222tAtxa)sin(ddtAtxv简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程二、描述简谐振动的特征量0cos()xAt1、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。0sin()vAt000,,txxvv初始条件00cosxA00sinvA2200()vAx振幅A由初始条件决定频率：单位时间内振动的次数。2、周期、频率、角频率对弹簧振子12T角频率：22T2mTk12kmkm周期和频率仅与振动系统本身的物理性质决定的。所以叫固有周期、固有频率、固有角频率周期T：物体完成一次全振动（状态重复一次）所需时间。00cos()cos()AtAtT2T昆虫翅膀振动的频率（Hz）雌性蚊子355~415雄性蚊子455~600苍蝇330黄蜂220大象25~30马40~50猪60~80兔100松鼠380鲸8动物的心跳（次/分）0sin()vAt0是t=0时刻的位相—初相位000costxA00sinvA000tanvx3、相位和初相位0cos()xAt——相位，决定谐振动物体的运动状态0t初相位也由初始条件决定2202dcos()dxaAtt（2）对给定振动系统，周期和频率由系统本身性质决定（固有周期、固有频率）小结（1）简谐振动的判据：①F=－kx物体受“线性回复力”性质的力②动力学方程（简谐振动微分方程）③运动（振动）方程0cos()xAt2220dxxdt2200()vAx（3）振幅和初相由初始条件决定000tanvx三.简谐振动的描述方法1.解析法2.曲线法oxmx0=0oA-Atx0=/2Tx=Acos(t+0),且A0已知表达式A、T、0已知A、T、0表达式已知曲线A、T、0已知A、T、0曲线曲线反映了三个特征量；任意时刻的位移和速度方向00cosA0π20,0,00vxt已知求0讨论xvo)2πcos(tAxtx图AAxT2Tto00sin0Av0sin0取0π2例物体沿x轴作谐振动，在t=0时，其坐标为x（0）＝－8.50cm、速度为－0.92m/s、加速度47.2m/s2.求（1）弹簧振子的频率和周期（2）初相位和振幅解：cos()............(1)xAt设(0)cos............(2)xA(0)sin............(3)xA2(0)cos............(4)xAo(0)23.5(/)(0)20.27(0)tan0.461(0)15525(0)9.4cosoxradsxTsxxxAcm＝（不符合题意）=例图示为谐振动的位移－时间曲线，写出振动方程o63－3x/cmt/s1.5自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.AA3、几何描述------旋转矢量表示法以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAcos0Ax0t0x以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAooAttt)cos(tAxx)cos(2tAa2πtmvvxyOAt)cos(tAxnaaAmvsin()Atv2nAa旋转矢量分析速度和加速度注意（1）旋转矢量仅仅是分析谐振动而引入的辅助工具，旋转矢量并不是谐振动本身。（2）旋转矢量旋转到某位置，就确定了谐振动该时刻的相位（与参考轴的夹角）和位置（在参考轴的投影）；确定了该时刻振动速度的大小和方向（在参考轴的投影）；也确定了该时刻加速度的大小和方向（在参考轴的投影）即：旋转矢量旋转到某位置，非常直观的表征了该时刻谐振动的状态（位置＼速度＼加速度）。在确定振动的初位相和振动的合成时特别方便！200cos()cos()maAtat0cos()xAt00sin()cos()2mAttvv谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavx...xavT/4T/4cos(2)xmtvvcos(2)Atcos()xmaat2cos()At由图可见：2a超前v2x超前vxt+o·Amvma090090用旋转矢量图画简谐运动的图tx说明（1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间．21()()tt12ttt)cos(11tAx)cos(22tAxAx2Atobaat3πTTt61π23π2AbtvAxAoA（2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异（解决振动合成问题）.12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt0xto同步xto为其它超前落后12txoπ反相例图示为谐振动的位移－时间曲线，写出振动方程（利用旋转矢量辅助求解）o63－3x/cmt/s1.5例题已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。31.431.415.715.701()ts1()cmsv解：用旋转矢量法辅助求解cos()xAtsin()cos()2mAttvv131.4mAcmsv0tst12vov的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位2t由图知223611s31.4103.14mAcmv10cos()6xtcm练习一质点作简谐振动的振动曲线如图所示，求质点的振动方程．t/s2-2-1ox/cmlTFP转动正向mglmglMsinsin5，时lgt22ddOAm22ddmglIt2mlJ一单摆4-2单摆和复摆(简谐振动动力学)2220dxxdt简谐振动)cos(mtlg2令glTπ2222ddtlgt22ddlTFP转动正向OAm2mlJ注意：单摆不是小角度的振动，自然就不是谐振动！二复摆22ddmglIt2mglI令)5(*lP（C点为质心）转动正向COFlM22sinddMmglIIt222ddt)cos(mt2πITmgl角谐振动2π2πmglIITmgl*lP（C点为质心）转动正向CO说明（1）单摆和复摆在小角度摆动的情况下周期、频率是固定的（由系统决定）－－即具有等时性（2）可以用来测量重力加速度g（3）也可以用来测量转动惯量I2πITmglglTπ2例截面积为S的U形管，内装有密度为ρ、长度为l的液体柱，受到扰动后管内液体发生振动。试分析液体柱的运动情况，不计各种阻力xo|x|x-2FSxgi解：对象选整个液体柱，t时刻液体柱运动到如图的位置,MN以下的液体受力是平衡的，所以MN220SxgSlxgxxl由牛顿第二定律所以，液体柱的运动为谐振动22lTgLLmgtg21mgtg21mgCRRml例一根均匀细棒的两端被两根长度均为L=1.20m的轻绳悬挂在水平位置上，棒作振幅甚小的扭转振动，其重心一直保持在同一竖直线上，求该系统的振动周期．l解：设棒长2RLmgtg21mgtg21mgCRRmTTF12Tmg1tan2Fmg12(tan).......(1)2MmgRRmg.......(2)LR杆端点弧长相等转动定律：22221(2)12dRmRmgdtL＝2RMmgL2230dgdtL＝223LTg1/2mg分析：设地球为质量均匀分布的球体，密度为ρ。如果沿着地球的直径有一个隧道，今有一个质量为m的小球放进此隧道中，不计各种阻力，分析小球的运动32434()3MrMmFGGmrr对小球有引力作用的质量小球受的引力解答Omr谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x0sin()Atv0cos()xAt212kEmv2201sin()2kAt212pEkx2201cos()2kAt4-3简谐振动的能量2011cos(22)4kAt〔〕2011cos(22)4kAt〔〕一、简谐振动的能量动能势能情况同动能。maxmin,,pppEEEmin0kE2114tTkktEEdtkAT2max12kEkA机械能212kpEEEkA简谐振动系统机械能守恒212kEmv频率为2ω的简谐振动2011cos(22)4kAt〔〕212pEkx2011cos(22)4kAt〔〕频率为2ω的简谐振动xtTEEpopkEEEtEk(1/2)kA2由起始能量求振幅022EEAkk212EkA二、振动系统机械能守恒简谐振动－－从振动能量建立动力学方程021)dd(21dddd22kxtxmttE22d11()2d2xEmkxconsttxtx222ddmk2其中：如弹簧振子系统，机械能守恒，任意时刻的机械能为例定滑轮的半径为R,转动惯量为I，轻弹簧的劲度系数为k,物体质量为m，不计体系的摩擦损耗，证明将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动，并求周期．解法一：直接建立动力学方程物体处于平衡点：0lkmg物体处于任意位置)(02lykTmaTmg1IRTRT21RamRIkya)/(20/dd222yRImkty222)/(mRIkRmRIk2222kRImRT解法二：从能量来建立动力学方程2220111()222EmIkyymgyconstv系统机械能守恒。以物体的平衡位置为坐标原点和重力势能零点。任意时刻的机械能为0dEdt2220/dykydtmIR＋222)/(mRIkRmRIk2222kRImRT一、同方向、同频率谐振动的合成因此：同方向、同频率谐振动合振动仍然是简谐振动,其频率仍为22121220102cos()AAAAA112201122sinsintgcoscosAAAA1110()cos()xtAt2220()cos()xtAt