二维傅里叶变换

1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈交的关于热传导的著名论文中提出了傅里叶级数．傅里叶分析方法已经广泛用于物理学及工程学科的各个领域．1.3二维傅里叶变换(2-DFourierTransform,FT)1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScienceJosephFourier,ourheroFourierwasobsessedwiththephysicsofheatanddevelopedtheFourierseriesandtransformtomodelheat-flowproblems.1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience信号分解为正交函数分量的研究方法在系统理论中占有重要的地位，其原理与矢量分解为正交矢量的概念十分相似．正交矢量空间和正交函数系I正交矢量空间000ˆˆˆAxiyjzk三维空间1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialSciencen维空间1122nnAcVcVcV0,,mnmmnVVmniiiAVc其中1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScienceII正交函数系若定义在(x1，x2)区间上的复函数系中的每个函数绝对可积，且满足{()}nx210,()(),xnmxmmnxxdxmn为区间(x1，x2)上的正交函数系.{()}nx1122331()()()()()nnnfxcxcxcxcx1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScienceIII三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:tnAtnAnnnnsincoscossin令,sinnnnAa,cosnnnAb得函数项级数)sincos(210xnbxnaannk为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience定理1.组成三角级数的函数系正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在机动目录上页下页返回结束定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分,则有1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有,)(xf,2)()(xfxfx为间断点其中nnba,(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience三角函数形式的傅里叶级数在一个周期内，n=0,1,...,由积分可知,1.三角函数集是一个完备的正交函数集tntn11sin,cos2112cossin0TTntmtdt2112,coscos20,TTTmnntmtdtmn2112,sinsin20,TTTmnntmtdtmn1.3.1傅里叶级数(FourierSeries)1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience在满足狄利克雷条件时，可展成称为三角形式的傅里叶级数，其系数2．级数形式1112,,ftTT周期信号周期为基波角频率为sincos)(1110nnntnbtnaatf直流分量TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度TttnttntfTa00dcos)(21正弦分量的幅度TttnttntfTb00dsin)(211.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience指数函数形式的傅里叶级数3．系数利用复变函数的正交特性也可写为Fn1．复指数正交函数集1je0,1,2ntn2．级数形式e)()(1j1tnnnFtf11111j01jj0()ed()eedTntTntntfttFntdtetfTtjnT1101)(11.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience说明dtetfTnFtjnT11011)(1)(1j1()()entnftFn对变换对．惟一确定，上两式是一，则如给出tfnF)(11j,ent周期信号可分解为区间上的指数信号的线性组合．周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式1110sincos)(nnntnbtnaatf110cosnntncc指数形式tnnnFtf1j1e)()(1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience都是离散求和的形式，表明(1)一个随时间或空间变化的周期函数(信号),可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠加．各简谐波分量的频率为,是离散的，取值为0,,,,,为直流分量，为基频，其余为高次谐波分量．)(tf1n11213101(2)是其中一个简谐波成分，或是该简谐波成分的权重，它是频率的函数，称为傅里叶频谱函数(简称频谱函数)。1exp()jnt1()Fn(,)nnab1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience一维傅里叶变换)(tf：周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；离散谱22j11111de)(1)(TTtnttfTnF谱系数0再用表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数.1nF11`π2T谱线间隔01TtnnnFtf1j1e)()(1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience1T1T单位频带上的频谱值22j11111de)(1)(TTtnttfTnFfnFTnFnFT111111时，当1T0)(,0111nFTf有界函数fnF1连续111dnn1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience频谱密度函数(spectrumdensityfunction)，简称频谱函数w1T11111j2112limlim()edTntTTTFTFnfttdtetftjn1)(　　　　　　21T21TftFj()()ed{()}tFfttftF傅里叶变换j11()d{}2tftFeF　F傅里叶逆变换1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience1.3.2傅里叶变换1.直角坐标系内的二维傅里叶变换•二元函数的傅里叶变换(即傅里叶谱或频谱)定义为),(yxf•其傅里叶逆变换定义为dxdyyxjyxfF)](2exp[),(),(ddyxjFyxf)](2exp[),(),(•非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，是各频率成分的权重因子(weightingfactor)．),(F1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience在电信号处理、通信中，一般是1D的时间信号，经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换.在光学中，多数情况下研究的对象是2D或3D图像处理或成像，一般是二维或三维空间分布(可表示为二维或三维空间函数).1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience可分离变量函数的傅里叶变换如果一个二维函数是可分函数，则其傅里叶变换可写成两个一维函数傅里叶变换的乘积.(,)()()gxyfxhy()()fxFF()()hyHF(,)()()()()gxyfxhyFHFF1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience2.极坐标系内的二维傅里叶变换sin,cossin,cosryrx122122tan,tan,xyyxr或1)定义式对于具有圆对称的函数，采用极坐标形式比较方便.1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialSciencedxdyyxjyxfF)](2exp[),(),(cos,sinxryrcos,sin200(cos,sin)(cos,sin)exp[2cos()]Ffrrjrrdrd　)sin,cos(),(FG)sin,cos(),(rrfrg020)]cos(2exp[),(),(drdrjrrgG020)]cos(2exp[),(),(ddrjGrg1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience2)傅里叶－贝塞尔变换•圆对称函数，有)(),(rgrg20000(,)(,)()()exp[2cos()]2()(2)GgrgrrgrjrddrrgrJrdr　　　　　　　　FF其中，利用了贝塞尔函数关系式)(2)]cos(exp[020Jdj1.3二维傅里叶变换第一章线性系统分析InformationOpticsSchoolofPhysics&MaterialScience式中是第一类零阶贝塞尔函数(isaBesselfunctionoffirstkind,zeroorder)．与