12弯曲正应力、切应力与强度条件

§9—3梁截面上的正应力当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS。mmFSM只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力mmFSmmM一，纯弯曲梁横截面上的正应力PPaaCD++PP+PaRBRAPPaaCD++PP+Pa横力弯曲梁的横截面上同时有弯矩和剪力的弯曲。纯弯曲梁的横截面上只有弯矩没有剪力的弯曲。横截面上只有正应力而无切应力。几何取一纯弯曲梁来研究。推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式。物理静力学实验：1，几何方面以及横向线相垂直的一系列的纵向线（如aa，bb等）。aabb梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如mm，nn等）mmnn（1）变形前相互平行的纵向直线（aa，bb等），变形后均为圆弧线（a’a’，b’b’等)，且靠上部的缩短靠下部的伸长。梁变形后观察到的现象mmnnaabbmmmmnnaabbmm（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（mm,nn等）变形后仍为直线（m’m’,n’n’等），但相对转了一个角度，且与弯曲后的纵向线垂直。m’m’n’n’纯弯曲的变形特征基本假设1:平面假设变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线。基本假设2:纵向纤维无挤压假设纵向纤维间无正应力。d由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个角度d。用两个横截面从梁中假想地截取长为dx的一段。公式推导dO1O2dx横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段O1O2无长度改变。此层称为中性层。O1O2的长度为dx。dO1O2dx中性轴与横截面的对称轴成正交。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性层与中性轴dO1O2dx中性层中性轴横截面横截面的对称轴dO1O2dxyZx将梁的轴线取为x轴。横截面的对称轴取为y轴。中性轴取为z轴。dO1O2dxBB1ddy作O2B1与O1A平行。在横截面上取距中性轴为y处的纵向线AB。为中性层上的纵向线段O1O2变弯后的曲率半径。O2B1的长度为y。AydO1O2dxAByB1ddydxAB1为变形前AB的长度B1B为AB1的伸长量AB1为A点的纵向线应变。lldxdy)(OOBBABAB21111dO1O2dxAByB1dddxyOOBBABAB21111dxdy)(中性层的曲率为dxd1ydO1O2dxAByB1dddxydx因而，横截面上到中性轴等远的各点，其线应变相等。该式说明，和y坐标成正比,ydO1O2dxAByB1dddxydxxyZOyy2，物理方面纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态。材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系假设：=EyEE上式为横截面上正应力变化规律的表达式。yEyEE上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比；OxyZy1在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等。yρyEεEσM需要解决的问题如何确定中性轴的位置？如何计算?中性轴yZxOM3，静力学方面在横截面上法向内力元素dA构成了空间平行力系。dAZydAdA1dAANdAF)(AydAzM)(AZdAyMyZxOMdAZydA该空间平行力系简化为x轴方向的主矢对y轴和z轴主矩ANdAF)(AydAzM)(AZdAyM该梁段各横截面上FN和My均等于零，而Mz就是横截面上的弯矩M。00MyZxOMdAZydAAdAyE2AdAyzEAydAEyEE0SzE0IEyzMIEzANdAFAydAzM)()(AZdAyM0SZ中性轴必通过横截面的形心中性轴过截面形心且与横截面的对称轴y垂直AydAE0SzEANdAFyyZZ中性轴中性轴CC中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。MMyyCZCZ中性轴中性轴拉拉压压0Iyz因为y轴是横截面的对称轴，所以Iyz一定为零。该式自动满足中性轴是横截面的形心主惯性轴AdAyzE0IEyzAydAzM)(EIMz1EIz称为截面的抗弯刚度yEEAdAyE2MIEz)(AZdAyMM横截面上的弯矩。该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式y求应力点的y坐标。式中：横截面对中性轴的惯性矩。IzIyMz由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况。公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情形（横力弯曲）？公式的适用性IyMz横力弯曲时的正应力横力弯曲时横截面上有切应力（翘曲）平面假设不再成立此外,横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.由弹性力学的理论，有结论：当梁的长度l与横截面的高度h的比值:hl5则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力有足够的精度。l/h5的梁称为细长梁。4，讨论（1）应用公式时，一般将M，y以绝对值代入。根据梁变形的实际情况直接判断的正，负号。以中性轴为界梁变形后凹入边的应力为压应力（为负号）梁变形后凸出边的应力为拉应力（为正号）IyMzMMyyCZCZ中性轴中性轴（2）横截面中性轴上各点的正应力最小。且min=0IyMz（3）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处IyMz中性轴为对称轴ZyCycmaxytmaxMtmaxCmax压拉IyMzZyCycmaxytmaxMtmaxCmax压拉IyMzyyyctmaxmaxmax用ymax表示最大拉（压）应力点到中性轴的距离。ZyCycmaxytmaxMtmaxCmax压拉IyMzIyMzmaxmaxyIWZZmaxWZ称为抗弯截面模量。WMZmax中性轴是对称轴的梁横截面上最大正应力的计算公式为62bh21223hbhhI=WzzyzhbyIWZZmax矩形截面的抗弯截面系数圆形截面的抗弯截面系数26424dπddIWzz323d=dyzyIWZZmax2d2dMσmaxcσmaxtmaxmaxmaxtc矩形截面梁横截面上正应力分部图zy对于中性轴不是对称轴的横截面MytmaxtmaxycmaxCmaxzyMytmaxtmaxycmaxCmax应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离ytmax和yCmax直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。σmaxcσmaxtIyMσZttmaxmaxIyMσZccmaxmaxzyMytmaxtmaxycmaxCmax803565202080z例题：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。求横截面最大拉应力t，max，和最大压应力C，max，已知，Iz=290.610-8mm4P1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m解：支座反力为KN.RA52RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m画出弯矩图。803565202080zRARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CB最大正弯矩在截面C上mKNMC..52最大负弯矩在截面B上mKNMB.3RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CBB截面{MPaIMzBt1.36035.0maxMPaIMzBc1.67065.0maxRARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CBC截面MPaIMzCt0.56065.0maxMPaIMzCC1.30035.0maxRARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080zt,max=56.0MPa发生在C截面的下边缘可见，C,max=67.1MPa发生在B截面的下边缘RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z56.030.267.136.1重点、难点正应力公式：IyMzWMZmax中性轴是对称轴的梁横截面上最大正应力的计算公式为回顾EIMz1中性层的曲率公式：IyMz纯弯曲梁横截面上的正应力公式：横力弯曲时的正应力：IyxMz)(][maxmaxWMz][maxttccmax梁弯曲的正应力强度条件：◆中性轴是横截面对称轴：◆中性轴不是横截面对称轴：作业9-8；9-9xydyabdzdxc切应力互等定理：单元体两个相互垂直平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必定成对出现，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线。图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。§9-5弯曲切应力P2P1q(x)一、矩形截面梁横力弯曲时,横截面上既有正应力,又有切应力。推导切应力公式的方法：假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件求出矩形截面梁的切应力分布假设：切应力。按截面形状，分别讨论。(1)各点切应力方向平行于剪力FS;(2)切应力沿宽度均匀分布。（1）推导公式的思路MM+dMFSFS1假想地用横截面m—m,n—n从梁中截取dx一段。两横截面上均有剪力和弯矩。F2q(x)F1mmnnxdxmmnn弯矩正应力，剪力切应力。两横截面上的弯矩不等。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用y表示）其正应力也不等。IyxMz)(正应力（）分布图mmnnMM+dMFSFSmmnnymnnm'm'mohbdxxyz2假想地从梁段上截出体积元素mB1ABA1B1y要求m-m面上距中性轴为y处的AA1线上任意点处的切应力τ。τ在横截面的横线AA1上有相等的切应力，且方向都与剪力方向平行。yxzyBmnAB1A1mndxmnnm'm'mohbdxxyzyABA1B1ττ因为微元段dx的长度很小，所以假设切应力在AB1面上均匀分布。根椐切应力互等定理，AB1面的AA1线各点处有切应力且y体积元素mB1在两端面mA1,nB1上两个法向内力不等。3NN*2*1mnnm'm'mohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1mndxN*1N*2ττ4在纵截面AB1上必有沿x方向的切向内力dFS。yxzyBmnAB1A1mndxN*1N*2dFSmnnm'm'mohbdxxyzyABA1B1ττ切应力yxzyBmnAB1A1mndxN*1N*2dFSmnnm'm'mohbdxxyzyABA1B1由静力平衡方程，求出dFS。推导公式的步骤1N*1N*2和分别求出横截面mA1和nB1上正应力的合力234dFS除以AB1面的面积得纵截面上的切应力。由此得到横截面上距中性轴为任意y的点上的切应力。yxzyBmnB1A1mnN*1N*2AdFSdxb（2）公式推导yxzBmnAB1A1mnN*1N*21求N1*和N2*假设m—m,n—n上的弯矩为M和M+dM。两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2。y1dAdA1yxzBmnAB1A1mnN*2dANA*1*1dAyIMdAA*IyMA*zz11SIM*ZZ用A*记作mA1的面积Sz*是面积A*对中性轴z的静矩。A*N*1dA1y1yxzBmnAB1A1mnN*2A*N*1dA1y1dANA*1*1SIM*ZZ同理SIdMMdANZZA*2*2*N*1SIM*ZZSI