第8章 应力状态分析 强度理论

材料力学龚峰[e-mail]第8章应力状态分析强度理论8.1概述8.2平面应力状态分析8.3平面应力状态应力圆8.4三向应力状态的最大应力8.5广义胡克定律8.6常用的四个古典强度理论8.1概述几个问题1.以前研究过简单变形（拉压、扭转、平面弯曲）横截面上的应力，斜截面上是否也有应力？AFNzIMyPITbISFzzQ8.1概述几个问题拉压杆斜面上的应力8.1概述几个问题2.斜截面的应力是否需要研究？低碳钢扭铸铁扭8.1概述几个问题3.用什么方法研究斜截面上的应力？是否还要用研究横截面上应力的方法？4.任一斜截面上的应力有什么规律?5.强度条件σmax≤[σ]适用于单向拉伸，危险点在横截面上只有正应力，没有切应力；强度条件τmax≤[τ]适用于纯剪切，危险点在横截面上只有切应力，没有正应力。如果危险点一个面上既存在正应力，又存在切应力，上述强度条件还适用么?8.1概述应力的三个重要概念应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念。8.1概述不同点的应力各不相同（大小、方向）------------应力的点的概念。FQ8.1概述同一点在不同方向面上的应力也各不相同----------应力的面的概念。F2sin22cosK8.1概述过一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态。应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明8.1概述一点应力状态的描述1.微元体（又称应力单元体）（4）平行两面对应应力数值相等。（3）各面应力均匀分布；（2）各边长为无穷小；dx,dy,dz→0（1）一般为直六面体；特点：dydxdz8.1概述用应力单元体表示一点的应力状态σττσττ8.1概述用应力单元体表示一点的应力状态zxyxyxzzxyxzyyzyzx8.1概述2.微元体的取法：原则：各面应力已知或可求。1132238.1概述FCBAbzcymaxbaamaxcmaxbbbbmax梁内a点满足条件σmax≤[σ]，c点满足条件τmax≤[τ],b点同时满足条件σb≤[σ],τb≤[τ],是否一定满足强度要求？8.1概述主平面主应力1.主平面——切应力等于零的平面。一点处一般有三个主平面，互相垂直。2.主应力——主平面上的正应力。一点处一般有三个主应力，按代数值大小排列分别记为σ1,σ2,σ3,且σ1≥σ2≥σ38.1概述应力状态的分类1.单向应力状态——只有一个主应力不为零。8.1概述应力状态的分类2.二向（平面）应力状态——有两个主应力不为零。8.1概述应力状态的分类3.三向（空间）应力状态——三个主应力都不为零。σ1σ2σ38.1概述三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例τσσ2σ3σ1σ2σ18.2平面应力状态分析平面应力状态的一般情形xyσxσyτxyτyx8.2平面应力状态分析任意斜面上的应力新方法——只要知道微元体六个面上的应力，任意斜截面上的应力便可通过局部平衡求出。xyznαxxyxyyxyxyxyx8.2平面应力状态分析α面——自x轴正向逆时针转到α面外法线n时α角定义为正。2.应力的正负号规定xxαyxyyxn正应力------拉为正压为负1.任意斜截面的表示方法8.2平面应力状态分析切应力------对研究对象内任一点呈顺时针力矩者为正，逆时针为负。yxxyxxαyxyyxn8.2平面应力状态分析xxαyxyyxα平衡对象——3.任意斜截面上的应力0tF0nF平衡方程参加平衡的量——力(应力乘以其作用的面积)nt微元体局部8.2平面应力状态分析00nFAdcoscosdAxsincosdAxycossindAyxsinsindAyxxαyxyyxαnt8.2平面应力状态分析0tF0AdsincosdAxcoscosdAxysinsindAyxcossindAyxxαyxyyxαnt8.2平面应力状态分析xyxy2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx一点应力状态：1.取微元体2.任一斜截面应力有界、周期函数8.2平面应力状态分析主平面02cos2sin21xyyx平面应力状态中有一个主平面是已知的，即垂直于z轴、正应力和剪应力均为零的那个平面。另两个主平面都与它垂直，设它们与x轴正向夹角为0，据主平面定义：此方程有两个解：0和0+90，说明两个主平面互相垂直。yxxy22tan0得：8.2平面应力状态分析主应力平面应力状态中有一个主应力已知是零，另外两个主应力的大小为：上式求出的max、min和已知是零的三个主应力按照它们代数值的大小顺序排列，即可确定1、2和3。应用以上主平面、主应力公式时应注意：(1)所求出的0为x和y中代数值较大者转至与较大主应力(代数值)方向间所夹的锐角。tg200则为逆时针转，tg200则为顺时针转。(2)x、y和xy应连同符号代入公式。(3)x和xy应为同一平面上的应力。22minmax22xyyxyx8.2平面应力状态分析设极限剪应力的方位角为1，令02sin22cos11xyyxdd得：xyyx22tan1此方程同样有两个解：1和1+90，说明两个极限剪应力作用平面互相垂直，且与主平面成45角。将1代回剪应力公式，有22minmax2xyyx极限剪应力与max、min的关系：2minmaxmax极限剪应力8.2平面应力状态分析例8-1分析拉伸实验时低碳钢试样出现滑移线的原因。从轴向拉伸试件上任一点K处沿横截面和纵截面取应力单元体如下所示：xynmax4545KKAF试件上的滑移线恰恰出现在与横截面成45角的斜截面上，因此可以认为滑移线是由极限剪应力引起的。分析K点的应力状态可知，其最大正应力为max=，最大剪应力为max=(maxmin)/2=/2，最大剪应力数值仅为最大正应力的一半却引起了屈服破坏，表明低碳钢一类塑性材料抗剪能力低于抗拉能力。8.2平面应力状态分析例8-２分析低碳钢和铸铁圆轴扭转破坏的原因。K3=-max=1=45KteWM纯剪应力状态，max=，横截面就是最大剪应力作用面。1=max=，2=0，3=min=-，画出K点主应力单元体如上图所示。低碳钢试件的破坏面为横截面，恰为最大剪应力max所在面，可认为是被剪断的。铸铁试件的破坏面与轴线成45角，恰为最大拉应力max所在面，可认为是被拉断的。在纯剪应力状态，max=max=，而两种材料断面的方位不同，表明低碳钢的抗剪能力低于其抗拉能力，铸铁的抗拉能力低于其抗剪能力。8.2平面应力状态分析例8-3某点应力单元体如图所示，图中应力单位为MPa，求：1.指定斜截面应力；2.主平面；3.主应力；4.面内最大切应力；5.画出主应力单元体。（1）建立坐标系σx=－20MPaσy=40MPaτxy=10MPaα=30°104020yx30°n30°8.2平面应力状态分析（2）求σα，τα2sin2cos22xyyxyx60sin1060cos2402024020=－13.7MPa2cos2sin2xyyxMPa0.2160cos1060sin24020注意：σα，τα算好后按实际方向画在原图上104020yx30°n30°τα8.2平面应力状态分析（3）求主平面yxxy22ant0314020102α0=9.22°,99.22°（4）求主应力2222xyyxyxMPa6.21MPa6.4110240202402022104020yx30°n30°8.2平面应力状态分析σ1=41.6MPa,σ2=0σ3=－21.6MPa（4）画主应力单元体MPa6.3126.216.412max注：大主应力σ′的方向接近原微元体切应力τ的指向,与α0角是锐角钝角无关。主应力单元体须另画图。（5）求面内最大切应力104020σ1σ39.22°8.3平面应力状态应力圆应力圆方程2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx2sin2cos22xyyxyx2222xyyxxy2α28.3平面应力状态应力圆应力圆RCO2yx圆心（，0）2yx222xyyxR半径一点应力状态的另一种表示方法2222xyyxxy2α28.3平面应力状态应力圆应力圆------一点应力状态的另一种表示方法RCO2yx第一步求出两个互相垂直截面上的应力第二步做应力圆方法1.直接法2.利用对应关系8.3平面应力状态应力圆应力圆与微元体的对应关系微元体应力圆A.点面对应一面上的应力一点的坐标值B.转向对应斜面法线转向半径转向C.二倍角对应斜面转角α半径转角2α对应相同8.3平面应力状态应力圆点面对应yyxxyxCa(σα,τα)D1(σx,τxy)D2(σy,τyx)A一面上的应力一点的坐标值对应8.3平面应力状态应力圆转向对应、二倍角对应Ca(σα,τα)D2(σy,τyx)D1(σx,τxy)α2αnyyxxyxA8.3平面应力状态应力圆主平面、主应力OCR2yx222xyyxR022yxD1(σx,τxy)yxxy22tan0主平面方向主应力2222xyyxyx2222xyyxyx08.4三向应力状态的在于大应力一、定义三个主应力都不为零的应力状态。二、三向应力状态应力圆可利用主应力单元体做出。8.4三向应力状态的在于大应力三向应力状态主应力单元体1238.4三向应力状态的在于大应力根据主应力单元体做应力圆σ1σ2σ3σσ1σ2σ3平行于σ3的所有截面8.4三向应力状态的在于大应力根据主应力单元体做应力圆σ3σ1σ2σσ1σ2σ3平行于σ1的所有截面8.4三向应力状态的在于大应力根据主应力单元体做应力圆σ1σ2σ3σσ1σ2σ3平行于σ2的所有截面8.4三向应力状态的在于大应力三向应力状态应力圆σ3σ2σ1σσ1σ2σ38.4三向应力状态的在于大应力三向应力状态应力圆σ3σ2σ1σ3σ1σ2σ三类特殊截面对应三个应力圆其余截面对应三个应力圆包围区域KK8.4三向应力状态的在于大应力三、应力第一不变量σx＋σy＋σz=σ1＋σ2＋σ3=常数四、极值应力1.极值正应力σmax=σ1σmin=σ3σσ1σ2σ38.4三向应力状态的在于大应力2.极值切应力面内主切应力22112232232311323113maxτ最大切应力σσ1σ2σ31223138.4三向应力状态的在于大应力例题求图示微元体的主应力和最大切应力。解：这是