第8章 微分方程

第八章微分方程主讲教师：刘宝友石家庄铁道学院数理系第8章微分方程2020/1/182第八章常微分方程yxfy求已知,)(—积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广第8章微分方程2020/1/183第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第8章微分方程2020/1/184引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:xxy2dd①(C为任意常数)由②得C=1,.12xy因此所求曲线方程为21xy②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.1.1数学模型（引例）第8章微分方程2020/1/185引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,00ts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得因此所求运动规律为tts202.02说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).第8章微分方程2020/1/186常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)1.2微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或:未知函数为一元函数的微分方程:未知函数为多元函数的微分方程第8章微分方程2020/1/187,00ts200ddtts引例24.022ddxy—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解xxy2dd21xy引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.第8章微分方程2020/1/188例.验证函数是微分方程的解,,0Axt00ddttx的特解.解:)cossin(212tkCtkCk这说明tkCtkCxsincos21是方程的解.是两个独立的任意常数,),(21为常数CC利用初始条件易得:故所求特解为tkAxcos故它是方程的通解.并求满足初始条件第8章微分方程2020/1/189求所满足的微分方程.例.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyox解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即02xyy点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,第8章微分方程2020/1/1810当g(y)0第二节一阶微分方程分离变量可分离变量方程:2.1变量可分离方程()()dyfxgydx求解方法:1()()dyfxdxgy第8章微分方程2020/1/1811分离变量方程的解法:两边积分,得xxfd)(①②由②确定的隐函数y＝(x，C)是①的解.则有否则称②为方程①的隐式通解.1()()dyfxdxgy若是原方程的解.则若y＝(x，C)能显化，则称y＝(x，C)为显式通解.第8章微分方程2020/1/1812例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxyCxylnln3即1CeC令(C为任意的非0常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.显然y=0为方程解,通解为(C为任意常数)第8章微分方程2020/1/1813例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y第8章微分方程2020/1/1814例3.求下述微分方程的通解:解:令,1yxu则故有uu2sin1即Cxutan解得Cxyx)1tan((C为任意常数)所求通解:第8章微分方程2020/1/1815练习:解法1分离变量Ceexy即01)(yxeCe(C0)解法2,yxu令故有ueu1积分Cxeuu)1(ln(C为任意常数)所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1(第8章微分方程2020/1/1816例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,,lnlnCtM得即teCM利用初始条件,得0MC故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原第8章微分方程2020/1/1817例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分:得)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgvt足够大时第8章微分方程2020/1/1818cm100例6.高1m的半球形容器,水从它底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变r解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即thgVd262.0d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到),0d(dhhhhhdhho第8章微分方程2020/1/1819cm100rhhdhho对应下降体积hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:hhhgtd)200(262.0d2321第8章微分方程2020/1/1820gt262.0两端积分,得g262.0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始条件,得5101514262.0gC因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:)310107(265.4252335hhgt1000thcm100rhhdhho第8章微分方程2020/1/1821内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C第8章微分方程2020/1/1822(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程2)根据物理规律列方程(如:例4,例5)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤第8章微分方程2020/1/1823思考与练习求下列方程的通解:提示:xxxyyyd1d122(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln第8章微分方程2020/1/1824,0)1,0(,1FCF备用题已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有]dcosdsin[),(yxxxyyxFL0),(yxF.)(xfyxyFFyxtanxyytan10xyxycos1xsec]sin),([]cos),([xyyxFyxyxFxy第8章微分方程2020/1/18252.2可化为变量可分离的方程形如的方程叫做齐次方程.令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:1.齐次方程第8章微分方程2020/1/1826例1.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)第8章微分方程2020/1/1827例2.解微分方程解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明:显然x=0（变换丢失）,y=0,y=x（变换后方程分离变量时丢失）也是原方程的解,但在求解过程中丢失了.(C为任意常数)第8章微分方程2020/1/1828(h,k为待2.准齐次型方程)0(212cc,.111时当bbaa作变换kYyhXx,,dd,ddYyXx则原方程化为ckbha111ckbha令,解出h,k(齐次方程)定常数),第8章微分方程2020/1/1829求出其解后,即得原方程的解.,.211时当bbaa原方程可化为1d()d()yaxbycfxaxbyc令,ybxavxybaxvdddd则1d()dvvcabfxvc(可分离变量方程))0(b第8章微分方程2020/1/1830例4.求解解:04kh令,5,1YyXxYXYXXYdd得再令Y＝Xu,得令06kh1,5hk得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量,得原方程的通解:第8章微分方程2020/1/183115arctanxy2151ln21xy)1(lnxC得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:第8章微分方程2020/1/18322.3一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程;第8章微分方程2020/1/1833对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得研究第8章微分方程2020/1/1834例1.解方程解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得即2)1(xCy用常数变易法求特解.令,)1()(2xxuy则)1(2)1(2xuxuy代入非齐次方程得解得Cxu23)1(32故原方程通解为第8章微分方程2020/1/1835例2.求方程的通解.解:注意x,y同号,,d2d,0xxxx时当yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式,得exey1故方程可变形为0d2d3yyxyyxx