二次型

第6章二次型在解析几何中,为了研究二次曲线(1)的几何性质,可以选择适当的坐标变换,将方程(1)化为不含混合项的标准型(2)在二次曲面的研究中,也有类似的问题.(1)的左边是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,将(1)化为标准型(2)的过程,就是通过变量的线性代换化简一个二次齐次多项式,使之只含平方项.这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般化,讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题.122cybxyaxcossinsincosyxyyxx122ycxayx,定义6.1n元变量x1,x2,,xn的二次齐次多项式22232232222113113211221112122222nnnnnnnnxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxa),x,,xf(x叫做数域F上的n元二次型（简称二次型）.其中系数是数域F中的数，实数域上的二次型简称实二次型.ija6.1二次型的定义和矩阵表示合同矩阵如果令aji=aij(1ijn)，则上式可以表示为222112222221221112112211121),,,(nnnnnnnnnnnnxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxfnininiiixaxaxax12211)(jninjijixax11jininjijxxa11其中x=(x1,x2,,xn)TRn，A=(aij)nn是实对称矩阵,称为二次型f对应的矩阵.nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121],,,[xAxT2121222211121121],,,[nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxxjninjijixax11jininjijxxaf11若A,B都是实对称矩阵,且对应的二次型相同，即证先取x为单位向量ei=(0,,1,,0)T(第i个分量为1,其余为0)，代入上式得aii=bii(i=1,2,,n)ninjjiijxxaxx11TAxxxxbninjjiijBT11再取x为向量eij=(0,,1,,1,,0)T(第i,j个分量为1,其余为0)，代入上式得aij=bij(ij)则A=B所以A=B例1设24234231212143215422),,,(xxxxxxxxxxxxxf则它对应的矩阵为502001012000122121A由此可见,二次型与矩阵之间存在一一对应的关系,即任给一个二次型,唯一地确定一个对称阵;反之,任给一个对称阵,唯一确定一个二次型.因此,研究二次型的性质,就是研究对称矩阵A的性质.我们把对称阵A的秩,称做二次型f的秩.例2、已知二次型的秩为2，求参数32312123222132166255),,(xxxxxxcxxxxxxfc解:30012035191201224035133351315cccA3c练习：已知三元二次型A矩阵的特征值为2，3，0,且其中对应于特征值2，3的特征向量分别为，AxxfT111,01121(提示:不同特征值对应的特征向量正交.再利用特征向量的定义,可以求出矩阵A)求此二次型的表达式.的二次齐次函数。的坐标可以看成向量nxxxAxxf,,,)(21Tαα如果n维向量在两组基B1={1,2,,n}和B2={1,2,,n}下的坐标向量分别x=(x1,x2,,xn)T和y=(y1,y2,,yn)T又(1,2,,n)=(1,2,,n)C则x=Cyf()=xTAx=yT(CTAC)y,B=CTAC故f()在基B1和B2下对应的矩阵分别是A和B=CTAC.yT(CTAC)y是y1,y2,,yn的一个二次型.一般地,将二次型化为标准型的过程:yACCyxAxyCxTTT21),,,(nxxxf2222211nnydydyd即寻找矩阵C，使B=CTAC为对角阵.为此,引出合同矩阵的概念.定义6.2对矩阵A和B,如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，就称矩阵A相合(或合同)于B（记作A≃B)。矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质：(1)自反性，AMn(F),A≃A；(2)对称性，A,BMn(F),若A≃B,则B≃A；(3)传递性，A,B,CMn(F),若A≃B,B≃C，则A≃C。6.2化二次型为标准形yyxxACCACyxCTT0T2222211nnydydydninjjiijxxa11二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这种二次型称其为标准形.化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法，配方法和初等变换法.6.2.1正交变换法定理6.1（主轴定理）对于任一个n元二次型f(x1,x2,,xn)=xTAx，存在正交变换都x=Qy(Q为正交阵)，使得QTAQ=diag(1,2,,n)(定理5.12),从而xTAx=yT(QTAQ)y=1y12++nyn2其中1,,n是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列向量是A属于1,,n的n个标准正交的特征向量.例１用正交变换化二次型233222312121321585442),,(xxxxxxxxxxxxf为标准型.解:542452222A542452222AI01012)()(10)(121二重得用Schmidt正交化方法(正交化，单位化)得,0,1,2T551γT15525,4,2γ2=10时，T2,2,1313γ得取正交矩阵3235321554553115525523210γγγT,,则T1AT=diag(1,1,10)xTAx=yT(CTAC)y=y12+y22+10y321=1时，解齐次线性方程组得到线性无关的特征向量x1=(2,1,0)T,x2=(2,0,1)T0xAI解齐次线性方程组010xAI三个特征值决定二次曲面的类型。3235321554553115525523213210)()ε,ε,(εγ,γ,γ即例１的应用：在自然基{1,2,3}下，对二次曲面方程1585442233222312121xxxxxxxxx做坐标变换：T5510,1,2γT1552542,,γT3132,2,1γ在新基{1,2,3}下，二次曲面方程为y12+y22+10y32=1这是椭球面方程，椭球的三个主轴长度分别为10111111321,,用正交变换化二次型为标准型,具有保持几何形状不变的优点.上例中,为一个椭球面;在新的坐标系下,二次曲面方程依然是一个椭球面.1),,(321xxxf110232221yyy事实上,当矩阵为正交矩阵时,线性变换常被称为正交变换.此时,即正交变换具有保持距离不变的特点,当然不会改变图形在不同坐标系中的形状.Qyx),(,,)2()1()2()1()2()1(yyQyQyxxQ03828322620828102222zyxxzyzxyzyx例2将一般二次曲面方程化为标准方程（只含平方项和常数项）。(1)解将(1)式中二次项部分其中x=(x,y,z)T,y=(x',y',z',)T313232323132323231Tzyxzzyxyzyxx313232323132323231即用类似例1的正交变换法化为平方和:xzyzxyzyx20828102222TxAx(2)(3)取正交矩阵令x=Ty,将(3)式代入(1)式的一次项部分，曲面方程(1)化为122222zyx)()()(343131zzyyxx再令1)(2)(2)(234231231zyx配方得0229383163432222zyxzyx得标准方程图形为单叶双曲面。即xTAx=yT(TTAT)y=9x'2+18y'218z'2则T1AT=diag(9,18,18)6.2.2配方法和初等变换法化二次型为标准形yyxxyxACCATTC0CT2222211nnydydyd化为标准形，并求所用的坐标变换x=Cy及变换矩阵C。例3用配方法把三元二次型32312123222132184432),,(xxxxxxxxxxxxf在x=Cy变换中，di一般不是特征值。解先按x12及含有x1的混合项配成完全平方，即3223222322323212183)(2])()(2[2xxxxxxxxxxxx322322232142xxxxxxx)(在上式中，再对x224x2x3配成完全平方f(x1,x2,x3)=2(x1+x2x3)2+(x22x3)25x323332232112xyxxyxxxy令代入上式，得二次型的标准形f(x1,x2,x3)=2y12+y225y32),,(321xxxf321321100210211yyyxxx即333223211333223211222yxyyxyyyxxyxxyxxxy中解出从就是坐标变换x=Cy，式中的矩阵就是变换矩阵C。对一般的f(x1,x2,,xn)的配方法：若x12项的系数不为0，就按上例配方。如果x12项的系数为0，而x22项的系数不为0，就从x2开始配方。如果所有的二次项的系数都为0，就按下例的方法化为标准形。例4用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x22x1x3+2x2x3为标准形，并求所做的坐标变换。33212211yxyyxyyx将(1)式代入二次型，得f(x1,x2,x3)=2y122y224y2y3(2)解因为没有二次项，先利用平方差公式做如下变换:321321100011011yyyxxx即记作x=C1y(1)3332211yzyyzyz令321321100110001zzzyyy解出得二次型的标准形f(x1,x2,x3)=2z122z2+2z32即xTAx=zTz再用例3的配方法得f(x1,x2,x3)=2y122(y2+y3)2+2y32200020002011101110ΛA,f(x1,x2,x3)=2y122y224y2y3zy2C记为(3)其中10011111110011000110001101121CCC变换矩阵坐标变换为x=C1y=C1(C2z)=(C1C2)z任何n元二次型都可用配方法化为标准形，相应的变换矩阵是主对角元为１的上三角矩阵和例4中的对角块矩阵C1,或者是这两类矩阵的乘积。任意一个n阶实对称矩阵A，也都可以通过一系列