双线性函数

第十章双线性函数§10.1线性函数§10.2对偶空间§10.3双线性函数§10.4对称双线性函数§10.2对偶空间一、对偶空间与对偶基二、对偶空间的有关结果§10.2对偶空间§10.2对偶空间一、对偶空间与对偶基1.对偶空间设是数域上的维线性空间，表示VP(,)LVPnV上全体线性函数的集合，在中定义加法(,)LVP和数乘运算：,(,),,fgLVPVkP()()()(),fgfg()()()kfkf则构成数域上的线性空间，称之为VP(,)LVP的对偶空间，记为.V定义§10.2对偶空间1.对偶基设为数域上线性空间的一组基，12,,,nPV作映射1,(),,1,2,,0,ijijfijnij则，且*(,)ifLVPV1122()()().nnfff即，(),1,2,,iifxin有，1122,nnxxxV①对任意§10.2对偶空间②线性无关.12,,,nfff证明：设11220nnkfkfkf两端作用得i0,ik1,2,,.in③中任意线性函数可由线性表出.V12,,,nfff证明：，对，设(,)gVLVPV1122nnxxx则1122()()()()nngxgxgxg12,,,nfff线性无关.§10.2对偶空间1122()()()()()()()nngfgfgfg1122()()()()()()nngfgfgf1()()niiigf11221()()()()niinniggfgfgfgf(),1,2,,iifxin§10.2对偶空间综合②与③即得定理2取定线性空间V的一组基12,,,,n若V上的n个线性函数满足12,,,nfff1,(),,1,2,,0,ijijfijnij则为的一组基.12,,,nfff(,)VLVP称之为的对偶基.12,,,n§10.2对偶空间例.上线性空间,任意个不同实数R[]nVPxn12,,,,naaa根据拉格朗日插值公式，有多项式111111()()()()(),()()()()iiniiiiiiinxaxaxaxapxaaaaaaaa则1,()1,2,,0,ijjipainji且为的一组基.12(),(),,()npxpxpx[]nPx1,2,,in§10.2对偶空间这是因为:①线性无关.12()()()npxpxpx事实上，若有1122()()()0.nncpxcpxcpx用依次代入上式则得:ia0,1,2,,.icin12(),(),,()npxpxpx线性无关.②dim[].nPxn12()()()npxpxpx为基.§10.2对偶空间则线性函数满足1,(())()0,ijjiijLpxpaij因此是的对偶基.12,,,nLLL12(),(),,()npxpxpx设是在点的取值函数：(1,2,,)iLVinia(())(),(),(1,2,,)iiLpxpapxVin§10.2对偶空间二、对偶空间的有关结果1.设V数域P上的一个n维线性空间，12,,,n与是V的两组基，它们的对偶基分别是12,,,n12,,,;nfff12,,,,nggg即，1,1,(),(),1,2,,0,0,ijijijijfginijij再设1212(,,,)(,,,),nnA1212(,,,)(,,,),nngggfffB§10.2对偶空间1112111121212221221212,nnnnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbABaaabbb其中，1122,1,2,,iiininaaain于是有1122,1,2,,jjjnjngbfbfbfjn11221122()()()jijjnjniiningbfbfbfaaa11221,.0,jijinjniijbababaij所以，'.BAE即或1'BA11()'(').BAA§10.2对偶空间因此有下述定理定理3设与为线性12,,,n12,,,n空间V的两组基，其的对偶基分别为12,,,nfff与12,,,.nggg如果1212(,,,)(,,,),nnA则到的过渡矩阵为12,,,nfff12,,,nggg1(').A即，11212(,,,)(,,,)(').nngggfffA§10.2对偶空间2.线性函数空间的同构定理4设V为线性空间，是V的对偶空间V::()()VVVPVfff(,),VLVP的对偶空间，即V定义映射则为同构映射.即.VV§10.2对偶空间证：,,,VfVkP()()()()ff()()()fff()()()()()()ffff()()()()f同理()()kk()()()()()()kfkffkkf()()()kfkf所以保持加法和数量乘法.§10.2对偶空间首先：是1-1对应的，ker{()0,}{0,}VV1122ker,nnxxx若则对,即,,()0fVf()0.f(),()()()0iiiiffff又由的任意性，f()0,1,2,,.ifin()0,iixf即故是单射.0.§10.2对偶空间空间，所以可看成上线性函数空间,与是VVVV由Th3,与同构，而是上线性函数空间，VVVV互为线性函数空间的.注：§10.2对偶空间例1.设是线性空间的一组基,123,,V123,,fff是它的对偶基，1132123323,,.试证：是的一组基，并求它的对偶基.123,,V（用表示）123,,fff§10.2对偶空间A非退化.故是的一组基.123,,V它的对偶基1123123123012(,,)(,,)()'(,,)112111gggfffAfff123123110(,,)(,,)011,111解：11011001101110,111021而§10.2对偶空间例2.设是一个线性空间，是中的12,,,nfffVV非零向量.证明：存在使,V()0,1,2,,.ifin证：的核是的真子空间，否则ifkerifV()0,ifV,()0.iVf即从而0.if与已知矛盾.