双曲线的几何性质

双曲线的几何性质1、范围：方程在直线在之间图象axax,没有，byax22221axa，x或将方程化为，by022因为0122ax所以，ax122于是，双曲线上点的坐标（x,y）都适合22ax即所以2、对称性：1）几何法观察双曲线的形状，可以发现双曲线既是A轴对称图形又是A中心对称图形实轴长：A2、对称性：2）代数法1）将方程的x用一x代替，方程不变，双曲线关于对称2）将方程的y用一y代替，方程不变，双曲线关于对称3）将方程的x和y分别用一x和一y代替，方程不变，双曲线关于对称y轴x轴原点是双曲线的对称轴，是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。坐称轴原点3、顶点：令，y0得a，x因此，双曲线和x轴有两个交点a2双曲线的实轴：A双曲线的虚轴：A虚轴长：A双曲线和y轴有两个虚交点、bB),0(1)0(2，bBb221AA21BB、aA)0,(1)0(2a，A实半轴长：A虚半轴长：Aab实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线特殊:)0(22mmyx与这两条直线A的平行线。x。y321）渐近线的含义：4、渐近线：14922yx，经过A1（-3，0），A2（3，0）也可以看到，双曲线的各支向外延伸时，对于双曲线12222byaxxaby2）渐近线的求法的渐近线的方程是双曲线作y轴的平行线经过B1（0，-2），B2（0，2）作x轴14922yx，x3角线所在直线的方程是2y逐渐接近四条直线围成一个矩形，矩形的两条对12222bxayxbay的渐近线的方程是双曲线利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图双曲线的渐近线方程对于双曲线，把方程右边的“1”换成“0”，得双曲线渐近线方程为)0,0(12222babyax.002222xabybyaxbyax或或思考：对于双曲线的渐近线有怎样的结论呢？)0,0(12222babxay222aac5、离心率：因为ca0，所以离心率的取值范围是：。1）离心率：双曲线的焦距与实轴的比ace1e122ac2）双曲线的离心率对所代表双曲线的形状的影响由于ab12e所以e越大，也越大，ab即渐近线的斜率绝对值越大xaby这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，结论：双曲线的离心率越，大它的开口就越。开阔注意：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．aac22ace222bac二四个参数中，知二可求、、、在ecba等轴双曲线的离心率e=?2的双曲线是等轴双曲线离心率2eA1A2B1B2abc222cbax0y几何意义例3：求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。14416922xy422xy1）2）分析：把方程化为标准方程解：1）把方程化为标准方程14416922xy1342222xy由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3；5342222bac焦点坐标是（0，一5），（0，5）；离心率45ace渐近线方程为xy34例3：求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。14416922xy224yx1）2）解：2）把方程化为标准方程分析：把方程化为标准方程224yx1222222yx由此可知，实半轴长a=2，虚半轴长b=2；22222222bac焦点坐标是，；离心率2ace渐近线方程为xy)0,22()022(，练习1：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率及渐近线：32822yx81922yx1254922yx1）2）3）分析：把方程化为标准方程解：1）把方程化为标准方程143222yx由此可知，实半轴长a=，虚半轴长b=2；223246cab焦点坐标是（0，一6），（0，6）；632442cea渐近线方程为xy42离心率24顶点坐标为)024(，),024(，32822yx练习1：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率及渐近线：32822yx81922yx1254922yx1）2）3）分析：把方程化为标准方程解：2）把方程化为标准方程181922yx由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=9；22981310cab顶点坐标是（-3，0），（3，0）；10ace渐近线方程为xy3离心率焦点坐标为)0103(，),0103(，81922yx练习1：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率及渐近线：32822yx81922yx1254922yx1）2）3）分析：把方程化为标准方程解：3）把方程化为标准方程1254922yx由此可知，实半轴长a=5，虚半轴长b=7；74752222bac焦点坐标是（0，一5），（0，5）；574ace渐近线方程为xy75离心率顶点坐标为)740(，),740(，1492522xy把椭圆与双曲线的性质分析、归纳，完成下表：yx222bac222baca，xabyba，xax，，，，a是实长半轴长，b是虚短半轴长，c是半焦距a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F2）的点的轨迹平面内与两个F1，F2的距离之和等于常数（大于||F1F2）的点的轨迹范围a、b、c的意义a、b、c关系标准方程图形定义双曲线椭圆分类)0(12222babyax)00(12222，babyaxRy把椭圆与双曲线的性质分析、归纳，完成下表（续上表），aA)0,(1)0,(2aA),0(1bB),0(2bB)0,(1aA)0,(2aAaceace，cF)0,(1)0,(2cF，cF)0,(1)0,(2cFxaby，，，，无关于x轴和y轴对称，也关于原点对称关于x轴和y轴对称，也关于原点对称渐近线对称性双曲线椭圆分类顶点离心率焦点坐标例4双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).A′A0xC′CB′By131225解：如图，建立直角坐标系xOy,使小圆的直径AA‘在x轴上，圆心与原点重合。这时，上下口的直径CC’,BB’都平行于x轴，且︱CC’︱=13×2,︱BB’︱＝25×2).55,25(),,13(),0,0(12222yByCbabyax的坐标为则点的坐标为令点设双曲线的方程为2222222225(55)1(1)12,,131.(2)12ybBCyb－因为点在双曲线上，所以CxyOA’AC’BB’131225得程（负值舍去），代入方得由方程),1(125),2(by1)55125(12252222bb－219275181500(3)bb化简得用计算器解方程(3)，得b≈25162514422yx程为所以，所求双曲线的方CxyOA’AC’BB’131225,45516:dMFMPMxlMd的轨迹就是集合点的距离，根据题意，到直线是点解：设.45516)5(2xyx由此得,14416922yx－简，得将上式两边平方，并化191622yx－即所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。MxyOHFd例5点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线的距离的比是常数,求点M的轨迹.16:5lx5422222222222210000210nxyyxmmnxymnxyxyabxyab共渐近线的双曲线系：渐近线方程为：即的双曲线方程可设为：时表示焦点在轴上的双曲线；时表示焦点在轴上的双曲线；与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为：222213239162921321322164xyyxxy求下列双曲线的标准方程：（1）与双曲线有相同渐近线，且过点，；渐近线方程为：且过点，（3）与双曲线有相同焦点，且过典点例题，型；2210916xy解：设所求双曲线方程为912916则，2219164xy故所求双曲线方程为220332xyyx渐近线方程可化为22094xy设所求双曲线方程为8114294则，解得22222194188xyxy故所求双曲线方程为即22191644xy即14解得222213239162921321322164xyyxxy求下列双曲线的标准方程：（1）与双曲线有相同渐近线，且过点，；渐近线方典程为：且过点，（3）与双曲线有相同焦点，且过点例题，型；3250解：焦点为，，22102020xymmm设所求双曲线方程为184120mm则810m解得或（舍）221128xy故所求双曲线方程为221492454xye例求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。..191622yx可得,91625,42ba求得455a由05±\），，焦点为（5c得2524492c解：由22185xy例:求以椭圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。22222222222130852200510,0223,242.3,22,835135xyxxyabaabcacbcaxy解：依据题意有的焦点为，。椭圆的顶点为，和，由题意可知该双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为则所以所以所求双曲线方程为例：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB分析:求弦长问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.法一:设直线AB的方程为3(3)3yx与双曲线方程联立得A、B的坐标为923(3,23),(,)55由两点间的距离公式得|AB|=1635例：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法二:设直线AB的方程为3(3)3yx与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0由两点间的距离公式得222212121212212121||()()()()32316()4335ABxxyyxxxxxxxx设A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则1212627,55xxxx22||83AF