概率统计第四章 数字特征分析

1第四章随机变量的数字特征为了更加全面地研究随机变量及其性质，往往将随机变量和与其有关的某些重要数值的联系起来进行考察．这些重要数值在一定程度上，反映了随机变量的某些重要特征，就是本章将要介绍的随机变量的数字特征．特别是某些情况下，随机变量的概率分布是未知的，利用这些数字特征能够带来随机变量的某些重要信息，为研究随机变量的概率分布提供重要依据．本章介绍的随机变量数字特征主要有数学期望，方差，协方差和相关系数，其中随机变量的数学期望最为重要，其它数字特征都是通过数学期望来定义和计算的．§1数学期望一、数学期望的概念随机变量的数学期望也称为随机变量的均值，它体现的是随机变量的一种平均取值．例1.1为衡量甲、乙两位射击选手的射击水平，将他们在近期的训练和比赛成绩进行统计和整理．设X表示甲选手每次射击时命中的环数，Y表示乙选手每次射击时命中的环数，分别得X和Y的分布律如下．10981098~,~0.30.50.20.60.10.3XY，问甲、乙两位射击选手每次射击时的平均环数各是多少？4解为计算方便，分别让两位选手各射击10次，则按照上列分布律，分别得出甲、乙两位选手的理论总环数为甲选手：103958291（环），乙选手：106918393（环），因此，甲、乙两位选手每次射击时的平均环数分别为甲选手：1039582100.390.580.29.110（环），乙选手：1069183100.690.180.39.310（环），由此可见，乙选手每次射击时的平均环数高于甲选手每次射击时的平均环数．5定义1.1设随机变量X的分布律为{}iiPXxp，1,2,i，或1212~iixxxXppp，如果无穷级数1iiixp绝对收敛，就称之为X的数学期望或均值，记为EX或()EX，即1iiiEXxp．【注1】所谓均值，并不是简单地将随机变量X的所有取值ix求平均值，而是根据分布律所计算的加权平均．．．．，其中ix对应的概率ip就是相应的权重．6例1.2设随机变量X的分布律为21{(1)}2iiiPXi，1,2,i，讨论X的数学期望存在情况．解由于无穷级数111211(1)(1)2iiiiiiiiixpii条件收敛，故X的数学期望不存在．【注2】如果无穷级数1iiixp不绝对收敛（发散或条件收敛），就称EX不存在．7例1.3设盒子有两个红球和一个白球，现分别采用⑴不放回；⑵有放回的方式从中取球．记X为首次取得红球时的取球次数，试分别计算EX．解X为离散型随机变量，先分别在⑴不放回；⑵有放回的方式下，求出X分布律．所以21412333EX．⑴不放回方式下由于X的取值为1和2，且其分布律为21{1},{2}33PXPX，即12~2133X，8续解⑵有放回方式下此时，X的取值为1,2,，且由几何分布知其分布律为121{}()33kPXk，1,2,k，所以所以32EX．1211212111()[123()()]333333kkkEXkk，由于23121111[2()3()()]333333kEXk，将上面两式相减，得2322111121[1()()()]11333333313kEX，2.连续型随机变量的数学期望同理，如果广义积分()xfxdx不绝对收敛（发散，或条件收敛），就称X的数学期望不存在．定义1.2设随机变量X的密度函数为()fx，如果广义积分()xfxdx绝对收敛，就称之为X的数学期望或均值，记为EX或()EX，即()EXxfxdx．从物理学角度来看，假设有无限长的直线状物体，其线密度函数为()fx，则其重心为()()()xfxdxxfxdxfxdx．数学期望也称为随机变量X的中心．10例1.4设随机变量X密度函数为2,01,()0,xxfx其它，求EX．解112002()223EXxfxdxxxdxxdx．例1.5随机变量X的密度函数为21(),(1)fxxx，讨论X的数学期望存在情况．解广义积分21()(1)xfxdxxdxx02201[]11xxdxdxxx，021xdxx和201xdxx均发散，所以()xfxdx发散，故X的数学期望不存在．11二、随机变量函数的数学期望1.一维随机变量函数()YgX的数学期望定理1.1⑴设随机变量1212~iixxxXppp，()YgX，且无穷级数1()iiigxp绝对收敛，则1(())()iiiEYEgXgxp．⑵设随机变量X的密度函数为()fx，()YgX，且广义积分()()gxfxdx绝对收敛，则(())EYEgX()()gxfxdx．推论1.1⑴设随机变量1212~iixxxXppp，且无穷级数21iiixp收敛，则221()iiiEXxp．⑵设随机变量X的密度函数为()fx，且广义积分2()xfxdx收敛，则22()()EXxfxdx.13例1.7设随机变量1012~11114436X，试分别计算2()EX和(min{,1})EX．解法一经计算有2014~1714126X，101min{,1}~111442X，由定义1.1得：21715()01441264EX；1111(min{,1})1014424EX．解法二由于1012~11114436X，由定理1.1和推理1.1可得2222211115()(1)01244364EX；11(min{,1})min{1,1}min{0,1}44EX11min{1,1}min{2,1}3611111101144364．例1.8设随机变量X的密度函数为2,01,()0,xxfx其它，试分别计算2()EX和1()2EX．解由定理1.1和推理1.1可得122201()()22EXxfxdxxxdx；10111()()2222EXxfxdxxxdx112102111512()2()2224244xxdxxxdx．例1.9设随机变量X的密度函数为()fx，分布函数为()Fx，且()fx连续，计算(())EFX．解(())()()EFXFxfxdx21()()()2FxFxdxFx22111[()()](10)222FF．定理1.2⑴设二维随机变量(,)XY的分布律为{,}ijijPXxYyp，1,2,i，1,2,j，(,)ZgXY，且11(,)iiijijgxyp绝对收敛，则11((,))(,)iiijijEZEgXYgxyp．2.二维随机变量函数(,)ZgXY的数学期望⑵设二维随机变量(,)XY的密度函数为(,)fxy，(,)ZgXY，且(,)(,)gxyfxydxdy绝对收敛，则((,))(,)(,)EZEgXYgxyfxydxdy．推论1.2⑴设二维随机变量(,)XY的分布律为{,},ijijPXxYyp1,2,i，1,2,j，且11iiijijxyp绝对收敛，则11()iiijijEXYxyp．⑵设二维随机变量(,)XY的密度函数为(,)fxy，且(,)xyfxydxdy绝对收敛，则()(,)EXYxyfxydxdy．推论1.3⑴设二维随机变量(,)XY的分布律为{,},ijijPXxYyp1,2,i，1,2,j，且11()iijijgxp（或11()jijijgyp）绝对收敛，则11(())()iijijEgXgxp（11(())()jijijEgYgyp）．⑵设二维随机变量(,)XY的密度函数为(,)fxy，且()(,)gxfxydxdy（或()(,)gyfxydxdy）绝对收敛，则(())()(,)EgXgxfxydxdy（或(())()(,)EgYgyfxydxdy）．例1.10设二维随机变量(,)XY的分布律为(,)XY(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)P0.20.10.40.3试分别计算EX，()EXY和(max{,})EXY．解法一经计算有01~0.30.7X，01~0.70.3XY，01max{,}~0.20.8XY，由定义1.1得00.310.70.7EX；()00.710.30.3EXY；(max{,})00.210.80.8EXY．解法二由于(,)XY(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)P0.20.10.40.3由定理1.2，推论1.2和推论1.3可得00.200.110.410.30.7EX；()000.2010.1100.4110.3EXY0.3；(max{,})max{0,0}0.2max{0,1}0.1EXYmax{1,0}0.4max{1,1}0.30.8．22例1.11设二维随机变量(,)XY的密度函数为221,1,(,)0,xyfxy其它.试分别计算2()EY，()EXY．解2222211()(,)xyEYyfxydxdyydxdy21220011sin4drrdr；由二重积分的对称性知，2211()0xyEXYxydxdy．23三、数学期望的性质性质1.1Ecc．性质1.2()EkXkEX．推论1.4()EkXckEXc．性质1.3()EXYEXEY．推论1.51111()nnnnEaXaXaEXaEX++=++LL．性质1.4随机变量X和Y相互独立，则有()EXYEXEY．推论1.6如果随机变量nXXX,,,21相互独立，则有1212()nnEXXXEXEXEX=LL．性质1.5如果随机变量aX（或aX），则aEX(或aEX)．性质1.6222[()]()()EXYEXEY．24解由于X和Y相互独立，根据第三章定理6.4知，X和2Y相互独立，2X和Y也相互独立，故22()()EXYEXEY，22()()EXYEXEY．又00.6100.44EX，222()00.6100.440EX；102yEYyedy，22201()22yyEYyedyyedy，所以2222(21)()2()1EXYXYEXEYEXEY42240019．例1.12设随机变量010~0.60.4X，Y的密度函数为1()2yfye，y，且X和Y相互独立，求22(21)EXYXY．例1.13将编号为1~n（1n）的n只球随机地放入编号为1~n的n只盒子中，一只盒子放一只球．如果一只球放入与其同号的盒子，就称为一个配对．求平均总配对数．解记X为总配对数，iX为第i只盒子的配对数，即1,1,2,,iiiXinii第只球放入第只盒子，第只球有放入第只盒子，0，没，则12nXXXX