概率统计简明教程(全套课件)--第十五讲

概率统计第十五讲随机变量的协方差与相关系数开课系：数学系3.3协方差，相关系数一.协方差定义与性质1.协方差定义若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.为X与Y的协方差,易见Cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？例2设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。证:othersyxyxf011),(22111101)(221111dyxdxXExx0)(221111dyxydxXYExx0)()()(),(YEXEXYEYXCovX与Y不相关.而othersxxdyxfxxX011121)(22112othersyydyyfyyY011121)(22112)()(),(yfxfyxfYX故,X与Y不独立.2.协方差性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数证:Cov(aX,bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY)=abE(XY)-aE(X)bE(Y)=ab[E(XY)-E(X)E(Y)]=abCov(X,Y)(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);证:Cov(X+Y，Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).证:由方差性质(3)的证明过程有)()(2)(2)()()(YEXEXYEYDXDYXD),(2YXCov注:D(X-Y)=D[X+(-Y)]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)方差与协方差的定义期望、方差、协方差的性质对比不相关与独立切比雪夫不等式期望、方差、协方差的性质对比期望方差协方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)当X与Y独立时E(XY)=E(X)E(Y)EX:设随机变量XB（12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差22)(12),(6),(16)(8)42,34(),(44),(16)(16)(4)(33),(24)(9)(16)(1)(,3)(,65.012)(:YDXYCovYXCovXDYXYXCovWVCovYXCovYDXDWDYXCovYDXDVDYDXDXE答二.相关系数1.定义若r.v.X，Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则DYDX)Y,Xcov(XY称为X与Y的相关系数.注：若记DXXEXX)(*称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且).(),cov(****YXEYXXY2.相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X与Y不相关XY=0;1.设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数D1x=yothersDyxyxf0),(2),(解322)(010xdyxdxXE312)(010xydydxYE412)(010xydyxdxXYE1(,)()()()36COVXYEXYEXEY181942)(0102xdydxxXD181912)(0210xdyydxYD)()(),(YDXDYXCOVXY21D1XYXYXYUXXYUX求）求,),1,1(~2,),1,0(~)122解1)454)(,121)(,41)(,31)(,21)(YDXDXYEYEXE968.0454121121XY2)0)(,0)(XYEXE0XY.),,,,,(~),(3222121XYNYX则设例可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。4.4矩、协方差矩阵1.K阶原点矩Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2.K阶中心矩Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；3.K+l阶混合原点矩E(XkYl),k,l=0,1,2,…；4.K+l阶混合中心矩E{[XE(X)]k[YE(Y)]l},k,l=0,1,2,…；5.协方差矩阵1.定义设X1，…,Xn为n个r.v.,记cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量X1，…,Xn的协方差矩阵C。即nnnnnnnnijccccccccccC.....................)(212222111211n维正态分布及性质（看书！）设(X,Y)服从N(1,0,32,42,-0.5)分布，Z=X/3+Y/21)求Z的期望与方差;2)求X与Z的相关系数;3)问X与Z是否相互独立？为什么？02435.032),(3)23,(),(YXCovDXYXXCovZXCov0XZ(3)由(2),X与Z独立.3)()(21312)(41)(91)(31)(21)(31)()1YDXDYDXDZDYEXEZEXY