概率论 第三章第1节分布函数

§1二维随机变量二维随机变量联合分布函数联合分布律联合概率密度第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录1）定义：设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。一、二维随机变量§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录注意事项维随机向量；二维随机变量也称为二⑴我们应把二维随机变量⑵SeeYeXYX，，之间是有联系的；与看作一个整体，因为YX上的随机点．可看作平面，量在几何上，二维随机变⑶YX§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录2）二维随机变量的例子身体状况，令考察某地区成年男子的例1高；：该地区成年男子的身X．就是一个二维随机变量，则YX重．：该地区成年男子的体Y§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布，令考察某地区的气候状况例2：该地区的温度；X．就是一个二维随机变量，则YX：该地区的湿度．Y退出前一页后一页目录，，实数则对于任意一对是一个二维随机变量，，设yxYX.的分布函数，为二维随机变量的函数．我们称此函数，是YXyxyYxXPyxF，，二、联合分布函数§1二维随机变量1）定义第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录2）二元分布函数的几何意义yo(x,y)(X,Y)§1二维随机变量中的概率．为右上顶点的无穷矩形，以落在，表示平面上的随机点，yxYXyxF第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录3）一个重要的公式，，设：2121yyxx则2121yYyxXxP，22yxF，21yxF，yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布12yxF，11yxF，退出前一页后一页目录4）分布函数具有以下的基本性质：（1）F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的y,当x1x2时，);,(),(21yxFyxF);,(),(21yxFyxF对于任意固定的y,;0),(yF;0),(xF.1),(;0),(FF,1),(0)2(yxF且§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布对于任意固定的x,当y1y2时，对于任意固定的x,退出前一页后一页目录（3）F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续.yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1).0),(),(),(),()4(11211222yxFyxFyxFyxF§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录说明上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数．§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录5）n维随机变量是其样本空间，是一个随机试验，设SEniSeeXXii，，，21个随机变量．是该样本空间上的n则称SeeXeXeXXXXnn，，，，，，2121维随机变量．上的为样本空间nS§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录6）n维随机变量的分布函数，，，，维实数组意一维随机变量，则对于任是一个，，，设nnxxxnnXXX2121维随机变量我们称此函数为nnXXX，，，21nxxxF，，，21nnxXxXxXP，，，2211.的分布函数§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录三、二维离散型随机变量．为二维离散型随机变量，个数对，则称无穷的取值是有限个或可列，若二维随机变量YXYX二维离散型随机变量，，设YX的取值为X，，，，ixxx21的取值为Y，，，，jyyy21则称，，，，21jiyYxXPpjiij分布律．联合的，为二维离散型随机变量)(YX§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布1）定义：退出前一页后一页目录2）二维离散型随机变量的联合分布律下表表示的联合分布律也可以由，YXYX1y2y…jy…1x11p12p…jp1…2x21p22p…jp2…ix1ipijp…§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录3)二维离散型随机变量联合分布律的性质：性质10jiijyYxXPp，有1jiijp，：性质2，，，，，对任意的21jiji§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录例3的三个盒子中．令，，编号为将两个球等可能地放入321的联合分布律．，试求YX；，，的可能取值为210X解：号盒中的球数；：放入1X号盒中的球数．：放入2Y．，，的可能取值为210Y00YXP，91231§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录9210YXP，20YXP，9101YXP，9211YXP，9221YXP，P002YXP，9122YXP，P012YXP，P0§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录的联合分布律为，由此得YXYX012091929119292029100§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录例4次，令将一枚均匀的硬币掷3的联合分布律．，试求YX数；次抛掷中正面出现的次：3X；，，，的可能取值为3210X解：．，的可能取值为31Y次数之差的绝对值．与反面出现次抛掷中正面出现次数：3Y§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录；010YXP，30YXP，；8111YXP，；83；031YXP，12YXP，；83；032YXP，；013YXP，．8133YXP，的联合分布律为，由此得随机变量YX§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录XY012310838303810081§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录)5,2(F87)2,1(F83yYxXPyxF，，1）定义：对于二维随机变量(X,Y)分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使得对于任意的x，y有：yxdudvvufyxF,),(),(则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度。四、二维连续型随机变量§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录xdttfxF)()(2)概率密度的性质：;0),(10yxf;1),(),(20Fdxdyyxf连续，则有在点若),(),(30yxyxf40设G是平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为：GdxdyyxfGYXP.),(}),{(§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布这个公式非常重要！).,(),(2yxfyxyxF退出前一页后一页目录在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示P{(X,Y)G}的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积.GdxdyyxfGYXP.),(}),{(§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录例5的密度函数为，设二维随机变量YX；常数求⑴c解：由密度函数的性质，得⑴其它，，00043yxceyxfyx的联合分布函数；，求⑵YX．，求⑶2010YXP§1二维随机变量．1)4(YXP退出前一页后一页目录dxdyyxf，10043dxdyecyxdyedxecyx040312c．所以，12cxy0,0yx；，0yxF时，或当00yxyxF，)2(yYxXP，其它，，00043yxceyxfyxdudvvufxy，退出前一页后一页目录时，且当00yxyxF，dvedueyvxu040312dudvvufxy，xyvudvedu004312yxee4311其它，，所以，0001143yxeeyxFyx§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录dyedxeyx204103122010yxdxdyyxf，，20431012dyedxyx8311ee2010YXP，⑶§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录1Oxy1x+y=1§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布1yxdxdyyxf，1)4(YXP1043101431212dyedxdyedxyxxyx4334ee退出前一页后一页目录3）二维均匀分布的密度函数为，如果二维随机变量YXAD其面积为是平面上的有界区域，设上的均匀分布．服从区域，则称二维随机变量DYXDyxDyxAyxf，，，01§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布退出前一页后一页目录二维均匀分布几何意义:上的均匀分布，则服从区域，如果二维随机变量DYXDyx§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布内；只落在区域，我们可以认为随机点DYX)1的面积成正比，内的概率与内任一个子区域落在11)2DDD中的位置无关。在的形状以及而与DDD111D2D退出前一页后一页目录若二维随机变量（X,Y）具有概率密度2112221)[()1(21exp{121),(xyxf]})())((22222211yyx记作（X,Y）～N(),,,,2121则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布.,,,,2121其中均为常数,且,0,0211||,,,,21214）二维正态分布§1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布小结：1二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质。2联合分布函数的定义及性质。3二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性质，特别是GdxdyyxfGYXP.),(}),{(4二维均匀分布和二维正态分布。退出前一页后一页目录作业：P104：1，2，3