概率论 12二维边缘分布和相互独立性

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资源描述

二维随机变量的边缘分布在已知二维随机变量的联合分布的前题下,有时候我们会感兴趣其中某个变量的分布,(称作边缘分布)希望能由已知的联合分布求得。设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为,Fxy则随机变量X的分布函数为:,Fx随机变量Y的分布函数为:,FyXFx,YFy分别称为二维随机变量关于X和关于Y的边缘分布函数。事实上,对于一个二维随机变量,事件就是指事件YX,xXYxX,},{)(YxXPxFX},{)(yYXPyFY二维离散型随机变量的边缘分布121.2..............iiXaaaPppp12.1.2.............jjYbbbPppp1211112122122212............................................................jjjiiiijbbbapppapppapppXYP1.p2.p.ip......P.1p.2p.jp......得——二维离散型随机变量的边缘分布是一维离散型分布行和列和,0,00,20,41,01,21,4111110691833P例1设二维随机变量的联合分布律为:,011233P0241172918P试分别求出关于和的边缘分布律及21的分布律。2115171172918P解:0241111069183112103331172918PP二维连续型随机变量的边缘分布关键是由二维随机变量的联合分布密度求出关于两个随机变量的边缘分布密度。,xfxydydx所以,,Xfxfxydy同理,,Yfyfxydx二维连续型随机变量的边缘分布是一维连续型分布积分结果不含y},{)(YxXPxFX例2设二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为:26,01,01,0,xyxyfxy别处求分别关于X,Y的边缘分布密度。解:关于X的边缘分布密度,Xfxfxydy01xx当或时,,00Xfxfxydydy01x当时,,Xfxfxydy01201060dyxydydy2x2,0Xxfx所以01x别处例2设二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为:26,01,01,0,xyxyfxy别处求分别关于X,Y的边缘分布密度。解:......关于Y的边缘分布密度,Yfyfxydx01yy当或时,,00Yfxfxydxdx01y当时,,Yfyfxydx01201060dxxydxdx23y23,0Yyfy所以01y别处例3设二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为:8,01,0,xyyxfxy别处求分别关于X,Y的边缘分布密度。解:关于X的边缘分布密度,Xfxfxydy01xx当或时,,00Xfxfxydydy01x当时,,Xfxfxydy00080xxdyxydydy23044xxyx34,0Xxfx所以01x别处例3设二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为:8,01,0,xyyxfxy别处求分别关于X,Y的边缘分布密度。解:关于Y的分布密度,Yfyfxydx01yy当或时,,00Yfyfxydxdx01y当时,,Yfyfxydx11080yydxxydxdx122441yxyyy241,0Yyyfy所以01y别处D是等可能的,求该点到Y轴的距离的分布函数。例4设点(X,Y)落在曲线与X轴之间的区域22yxx解:由题意,(X,Y)服从区域D上的均匀分布。D220423ADxxdx因为3,,4,0,,xyDfxyxyD所以02xx当或时,,00Xfxfxydydy02x当时,,Xfxfxydy2202023004xxxxdydydy2324xx点到Y轴的距离的分布即坐标X的分布,D是等可能的,求该点到Y轴的距离的分布函数。例4设点(X,Y)落有曲线与X轴之间的区域22yxxD解:......232,0240,Xxxxfx别处00xXFxdx0x当时,02x当时,0203024xXFxdxxxdx2x当时,02202302014xXFxdxxxdxdx32343xx所以,XFx......由上面介绍我们看到:由联合分布密度,fxy可求出两个边缘分布密度和XfxYfy反过来,由两个边缘分布密度和XfxYfy能否求出联合分布密度呢?,fxy一般来说是不行的!例如:设(X,Y)服从二维正态分布,其密度函数为:222122121,21xyxyfxye,xy反过来,由两个边缘分布密度和XfxYfy一般不能得出联合分布密度,.fxy可求得,它的两个边缘分布分别是:221,2xXfxex221,2yYfyey不能确定两个随机变量的相互独立性定义——X与Y相互独立判别法1——,XYFxyFxFy离散型随机变量X与Y相互独立判别法2——设X,Y是两随机变量,若对实轴上的任意两个集合则称X与Y相互独立。,ij有..ijijppp连续型随机变量X与Y相互独立判别法3——,XYfxyfxfy121212,,SSPXSYSPXSPYS均有在实际问题或应用中,当X的取值与Y的取值互不影响时,我们就认为X与Y是相互独立的,进而把上述判别法当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下,由联合分布可求边缘分布;由边缘分布也可求联合分布!实际意义补充说明(,)()()XYFxyFxFy例如:0241111069183112103331172918PP与非相互独立。0241111010201041111110201041111251052P212555P与是相互独立。又如例2中:26,01,01,0,xyxyfxy别处23,0Yyfy01y别处2,0Xxfx01x别处X与Y相互独立。又如例3中:X与Y非相互独立。8,01,0,xyyxfxy别处241,0Yyyfy01y别处34,0Xxfx01x别处,0,00,20,41,01,21,4111169183P例5设二维随机变量和的联合分布密度是:问为何值时,与相互独立?,解:0241111069183121331112918PP111939291111831819这时可验证与相互独立。例6设随机变量~0,1,~0,1XNYN,且X与Y相互独立,求X,Y的联合密度函数。221,2yYyey221,2xXxex解:已知因为X与Y相互独立,所以X,Y的联合密度函数为22121,,,2xyxyexy习题35,10,11,13,19

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