概率论7-1,3

复习一、基本概念总体、个体、抽样、样本、样本值、简单随机样本、箱线图（修正）：步骤、分析二、统计量及其分布)(~2122nXnii)(~ntTnYX),(~//2121nnFnVnUF,),(~2nNX)1,0(~NnX)1(~)1(222nSn)1(~/ntnSX)2(~11)()(212121nntnnSYX1,1~//2122222121nnFSSF)2)1()1((212222112nnSnSnS其中注意条件！解:1)由于统计量)1,0(~NnX1)6.1(2)6.1()6.1(}2{}2{nnXPXP}6.145245{XP8904.019452.02思考题:设总体X服从正态分布N(,2),从中抽取容量为16的样本,试在1)已知2=25,2)2未知,但已知样本方差S2=20.8的情况下,求样本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率.解:2)因2未知,但S2=20.8,这时统计量)1(~ntnSXT于是}2{XP}1656.42nSX{P}754.1{TP05.0}753.1{,753.1)116(05.0TPt}]754.1{}754.1{[1TPTP90.005.021}2{XP}2{nSnSXP思考题:设总体X服从正态分布N(,2),从中抽取容量为16的样本,试在1)已知2=25,2)2未知,但已知样本方差S2=20.8的情况下,求样本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率.2、总体矩:k=1,2,…,l=1,2,…②kXEXE)()()(阶矩阶原点矩的kkXXEk①阶中心矩的kX回顾1.样本矩设（X1,X2,,Xn）为总体X的样本，则,2,1,11kXnAnikik样本k阶(原点)矩nikikkXXnB1,2,1,)(1样本k阶中心矩①②第七章参数估计§1点估计§3估计量的评选标准§4区间估计§5正态总体均值与方差的区间估计1.点估计2.区间估计§1点估计§3估计量的评选标准要求：理解点估计的方法思想，掌握矩估计法（一阶二阶）；会最大似然估计法；了解估计量的评选标准参数估计：已知总体分布函数的形式，未知的只是其中包含的有限个参数，只要确定这些参数，就可以完全确定总体分布函数。方法思想：利用样本构造一些统计量，作为总体参数的估计量；代入样本值，即得估计值。问题：⑴如何构造统计量以估计待估参数θ？方法：参数估计点估计区间估计矩估计法最大似然估计法⑵如何衡量所构造的统计量的好坏？——估计量优良性准则一、矩估计法基本思想：用样本矩k阶矩估计总体矩k阶矩.理论依据:矩估计法是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.若总体X的k阶原点矩为E(Xk)有限，则样本k阶矩nikikXnA11依概率收敛于总体k阶矩E(Xk)用样本k阶矩去估计相应的总体k阶矩的估计方法——矩估计法，所得的估计量——矩估计量。设总体X的概率分布含有m个未知参数m,,1且总体X的前k阶矩E(Xk)=αk存在，且为的函数)21mk，，，（令nikiXn11具体做法：αk（θ1,θ2,…,θm)，设(X1,X2,…,Xn)是总体X的一个样本。m,,1mk,,2,1此方程组的解称为参数θ1,θ2,…,θm的矩估计量。),,(21m总体矩样本矩方法步骤：1、建立待估参数θ与总体（原点）矩之间的关系；2、用样本的相应（原点）矩来做总体（原点）矩的估计量（替换），代入关系式，得到θ的估计量；3、代入样本值，得到θ的估计值。例1：设总体X在区间［a,b］上服从均匀分布，a,b未知。X1,X2,…,Xn是一个样本，试求a,b的矩估计量。解：②由矩估计法，用样本（原点）矩去估计总体矩。niiXn)ba()ab(Xba122212122解得a,b的矩估计量为n1i2in1i2i)XX(n3Xbˆ)XX(n3Xaˆ总体矩数学期望是一阶原点矩22222)]([12)()]([)()(XEabXEXDXE①首先建立参数a，b与总体的原点矩的关系2)(1baXE样本矩BXA222例２已知总体X有概率密度函数：xxxxf0,,0)(6)(3其它其中θ为未知参数，X1,X2,…,Xn为总体的一个样本。１)求θ的矩估计量；２)若3.5,4.2,5.3,4.4,3.7,5.8,3.9,4.8为一组样本观察值,求θ的矩估计值。解：①总体X只有一个未知参数，其一阶总体矩为：dxxxXE032)(6)(2][603023dxxdxx由矩估计法：X2X2ˆ②将数据代入，得θ的矩估计值为9.88122ˆ81iixx计算器用样本矩估计总体矩例3.证明：无论总体服从什么分布，总体方差σ2（假设总存在且σ20）的矩估计量都是212)(1XXnBnii证明：由2222)]([)()()(XEXDXEXE设（X1，X2，…,Xn）是总体X的样本。可令222AX解之得μ和σ2的矩估计量分别为niniiiXXnBXXnXAX112222222)(1)(1ˆˆ）（注意：①不需要知道总体的分布；②总体均值和方差的矩估计量分别是样本均值和样本二阶中心距，不因不同的总体分布而异。优点:①方法简单易行,并不需要事先知道总体的分布。因此,矩估计法适应面广,便于使用;②当样本容量n较大时，精度高.缺点:①当样本容量较小时,所得的估计值精度不高。②当总体分布类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.③一般场合下,矩估计量不具有唯一性.如，泊松分布参数的矩估计量既可以是样本均值，又可以是样本方差。方法评述—在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.二、最大似然估计法按总体为离散型r.v或连续型r.v分别讨论最大似然估计法.先讨论总体分布只含一个未知参数的情况.1、设总体X为离散型，其分布律为),,(}{xpxXPθ为未知参数,Θ为θ的取值范围,（X1,X2,…,Xn）为来自总体X的样本。设（x1,x2,…，xn）为样本观察值，r.v(X1,X2,…,Xn)在一次试验中取值为(x1，x2,…，xn)的概率为:},,,{2211nnxXxXxXPniixp1),(这一概率随θ的取值而变化,因而是θ的函数,记为:);,,()(21nxxxLLniixp1),(称L(θ)为样本的似然函数。即事件{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}在一次试验中发生的概率样本观察值出现的概率现在,在一次试验中事件{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}发生了,故应认为其概率很大.即如何求L(θ)的最大值?0)(ln0)(dLdddL或由对数似然方程求出L(θ)的最大值点),,(ˆˆ21nxxx最大似然估计法就是在参数θ的可能取值范围内，找出使样本观察值出现的概率为最大的参数值，即选取使L(θ)达到最大的参数值作为θ的估计值——θ的最大似然估计值(量).ˆL(θ)应取较大值。);,,,(max)ˆ;,,,(2121nnxxxLxxxL—原始定义方法1：是x1,x2,…,xn的函数方法2：用上述求导方法求参数的最大似然估计值行不通时，必须回到原始定义来求.例4:设总体X的分布律为X01Pk1-pp0p1,p未知,求参数p的最大似然估计量.解:设(X1,X2,…,Xn)是来自总体的样本,其观察值为(x1,x2,…,xn),.1,0,)1(}{1xppxXPxx故似然函数为：iixnixpppL11)1()(niiniixnxpp11)1()1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii0)(111)(ln11niiniixnpxppLdpd解得p的最大似然估计值为niixnxp11ˆp的最大似然估计量为niiXnXp11ˆX的分布律为：2、总体X是连续型时，方法相同设X的概率密度为f(x;θ),θ为未知参数，求θ的最大似然估计设似然函数niinxfxxxLL121),();,,,()((X1,X2,…,Xn)是来自总体的样本，其观察值为（x1,x2,…,xn）。法1：①令0)(ddL求最大值点；②计算最大似然估计值或写出最大似然估计量。);,,,(max)ˆ;,,,(2121nnxxxLxxxL—原始定义),,,(ˆˆ21nxxx——θ的最大似然估计值),,,(ˆˆ21nXXX——θ的最大似然估计量方法同前法2：用原始定义0)(lndLd或例5：设总体X服从参数为θ的指数分布，（x1,x2,…,xn）为样本观察值，求θ的最大似然估计值。解：总体X的概率密度函数为：0,00,);(xxexfx似然函数为：niixfL1);()(ixnie1niixne1niixnL1ln)(ln0)(ln1niixndLdxxnnii1ˆ1①②③几点注意1.当总体X的分布中含有多个未知参数时，方法类似。此时，似然函数为L(θ1,θ2,…,θk).0),,(0),,(0),,(21221121kkkkLLL解对数似然方程组得θ1,θ2,…,θk的最大似然估计值(量）2.设函数u=u(θ)具有单值反函数，若ˆ是θ的最大似然估计，则的最大似然估计。是)()ˆ(ˆuuuu如P145例5,进一步可求得标准差的估计值：221ˆˆxxni最大似然估计的不变性3、(4)在最大值点的表达式中,用样本代入就得参数的最大似然估计量.求最大似然估计的一般步骤是：(2)由总体分布导出似然函数L(θ);（其中参数θ为自变量，x1,x2,…，xn是已知常数）似然函数为分布律(或概率密度)乘积;(3)求似然函数L(θ)的最大值点(常转化为求lnL(θ)的最大值点);(1)设（x1,x2,…，xn)为样本(X1,X2,…,Xn)的一个观察值；三、估计量的评选标准问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同.(2)评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准.1.无偏性)ˆ(E说明1:的均值总是总体X不论总体X服从什么分布,.无偏估计量说明2:一个参数可以有不同的无偏估计量.S2总是总体方差的无偏估计量.2.有效性设21ˆ,ˆ是θ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21DD更有效。比则称21ˆˆ3.相合性Pn∞θ,即对任意0,有1ˆlimPn)X,X,X(ˆˆn21在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准.证明:niiXXnESE12211)(niiiXXXXEn122)2(11设总体X的均值和方差分别为2)(,)(XDXEniXDXEii,,2,1,)(,)(2则1)nnXEnXnEXEniinii1)(1)1()(112)niiXXEn1211niniiXXXnXEn1212211niiXnXEn12211是来自总体的样本，nXXX,,,21）的无偏估计量