第九章 数字信号处理中的有限字长效应

1第九章数字信号处理中的有限字长效应引言二进制数的表示及其对量化的影响A/D变换的量化效应数字滤波器的系数量化效应极限环振荡系数量化对数字滤波器的影响29.1引言数字信号字长有限，引起误差。一般有三种原因模数转换（A/D）的量化效应系数用有限位二进制数表示的量化效应数字运算中的有限字长效应研究目的选择合适的字长作误差分析返回39.2二进制数的表示及其对量化的影响二进制最基本算法：定点制、浮点制、成组浮点制一、3种算术运算方法1.定点二进制二进制小数点位置固定不变，运算中动态范围小，有溢出现象。通常将数值范围压缩在-1与1之间，还要进行尾数处理（舍入或截尾）优点：快速简单，只有乘法才出现舍入或截尾误差缺点：动态范围小，为防溢出，信号压缩降低了信噪比。42.浮点二进制数（类似于科学记数法）Mxc2M是尾数，c是指数，称阶码。运算中动态范围大，但阶码占用存储空间。优点：动态范围大缺点：运算速度慢，加法和乘法都会产生舍入或截尾误差53.分组浮点二进制数一组数共用一个阶码，从而节省了存储器。定点：10.10012.5625212020212021432101x浮点：010211.03275.022121202202121001x6二、负数的表示法1.原码记尾数以整数位为符号位，baaaaa3210.符号位尾数（b位）尾数以数的绝对值表示，又称“符号-幅度码”。701110xxxxx原biiiaax1102)1()(0加减不方便，需判断正负及相减绝对值大小。例：+0.250.010-0.251.0108biiiaax10102)(利用补码，可把加减法统一为加法。另一种求补码的方法称为“求反加1”，即各位求反，末位加1。2.补码（又称“2的补码”）01210xxxxx－补例：+0.250.010-0.251.11093.反码：又称“1的补码”，各位求反，0110，012210011111.110xxxxxxxxxb反（其中1.111…1为b+1位）例：+0.250.010-0.251.1011085828721)21)(1(2)21(:868212112:8221)1(2)1(:010.123101021010211100biiibbiiibiiiaaaxaaxax反码补码原码反码与补码关系：bbbxxxxx2222反补补反11三、量化方式——舍入与截尾尾数的截尾或舍入处理引起的误差取决于：二进制数的位数数的运算方式（定点或浮点）负数的表示法（原码、补码或反码）尾数的处理方法（舍入或截尾）1.定点制截尾（1）对正数：112biiiax截尾后：112][bbaxQbiiiT12截尾误差1102][bbiiiTTaxxQE最大截尾误差)22(211max1bbbbiiTE0)22(1TbbE即令b2，称为“量化步阶”或“量化步长”或“量化宽度”。0TE13（2）对负数：原码时：112biiiax截尾后：biiiTaxQ12][截尾误差：1102][bbiiiTTaxxQETE014补码时：1121biiiax截尾后：biiiTaxQ121][截尾误差：1102][bbiiiTTaxxQE0TE15反码时：截尾后：biiiTaxQ121][112211bbiiiax截尾误差：1110222][bbibbiiTTaxxQETE0正数及补码负数0TE原码负数及反码负数TE0概括起来，定点制截尾的误差范围应为162.定点制舍入十进制舍入是四舍五入，类似地二进制舍入不是简单截尾，而是选靠得最近的量化层的标准值，故其误差总在之间2即22REb2，xxQERR][，3.浮点制的截尾浮点与阶数c有关，相对误差xxxQ][更重要。（1）对正数：0TE绝对误差：02xTc，0x，ccx22102T相对误差：17（2）对负数：原码及反码时：TE0绝对误差：，cTx20122ccx相对误差：02T0x补码时：0TE绝对误差：，02xTc相对误差：20T0x概括起来，浮点制截尾的相对误差范围应为原码、反码02T补码0,200,02xxTT184.浮点制的舍入记xxQERR][，xxxQRR][尾数误差在2之间，阶码为c2222cRcE绝对误差：cccRcxx2222221即19（1）对正数：ccx221－若R为正，则2221cRcRx－∴R若R为负，则2221cRcRx－∴R总之R20（2）对负数：122ccx同理可得R概括起来，浮点制舍入的相对误差范围应为R219.3A/D变换的量化效应A/D是从模拟信号经采样转化为数字信号，而数字信号总是有限字长的，故与原信号相比产生一定的误差，分析A/D量化效应当目的在于选择合适的字长以满足信噪比指标。另外，模拟信号必须是带宽有限的，才能以2倍带宽以上的采样频率进行采样，而不产生混叠失真。在信号幅度方面，令模拟信号乘一个比例因子A，以满足A/D动态范围（A/D变换器总是定点制的）。记为)()()(nTAxtAxnxanTta在动态范围内可表示为：221)(221bbnx（是二进制位数）b22如令采样值为)(ˆnx，则量化误差（绝对误差）为：)()(ˆ)()]([)(nxnxnxnxQne量化后如果采用补码表示，则误差范围为：（1）舍入量化时：2)(2neRb2，（2）截尾量化时：0)(neT23一、量化误差的统计分析)(ne通常假定平稳随机序列与抽样信号不相关序列本身的任意两个值之间不相关（白噪声序列）在误差范围内是均匀分布故采样量化过程可用下图表示：)(ˆ)(nxtxnTta)(ne24所谓统计分析就是研究随机过程的统计特性，特别是各阶矩特性，尤其是一阶矩（均值）和二阶矩（方差）。em2e（1）对定点舍入量化方式，)(ne的概率密度函数为：othernenepR02)(21)]([其均值为：0)()]([22deepeneEmRRe][E表示求统计平均。25方差为：1221233)()(]))([(22232322222222beeeeeeedeedeepmemneE（2）对定点补码截尾方式：2221)]([0bTeedeneEm有直流分量1221212]))([(220222beedeemneE与舍入情形相同26对随机序列，常用自相关函数或去掉均值后的自相关函数，又称自协方差进行分析。对任何分布的白噪总有自协方差是函数，其功率谱是一常数。对舍入误差也是如此，用数学定量表示为：)(n)()()()(2nmnmemmeEnreeeee用描述是绝对误差的概念，实际中相对误差也很重要，我们对随机信号的振幅求相对误差没有意义，因均值为零时，振幅误差正负相互抵消也为零，但实际有误差，故采用振幅平方，即信号功率与噪声功率的相对比较来度量（相对误差），称之为信噪比，是信号功率比噪声功率大多少倍。记信号功率为，则)(ne2x222222212122xbbxex舍入处理27实际采用对数方式)(lg1079.1002.6lg10222dBbNSxex输入信号为时，)(nAx2221010210lg6.0210.7910log20logxxeASbAN＝信号功率越大，信噪比越高；随着字长的增加，信噪比也增大。若输入信号幅度压缩，则有：因此压缩输入信号幅度，将使信噪比减小。28如取xA41，则)(25.16161lg102dBbNSeb越大信噪比越高例如，给定要求，求最少为多少位。NSbdB40提高信噪比的方法：增大输入信号，但受限于A/D变换器的动态范围增加字长b，但受限于输入信号的本身信噪比)(txa29二、量化噪声通过线性系统系统的线性性质使加性噪声的输入在输出端也产生加性响应，如下图所示：由于是白噪，故其自协方差、自相关是函数，即)(ne)()()(2nnRnrexxee)(nh)()()()()()()(nfnynhnenhnxny)(nx)(ne30自协方差在时是噪声功率，得到白噪的功率是，该噪声通过的过滤，产生的噪声功率为0n2e)(nh0022)()()()()]([lmflnelhmnemhEnfE)()()()(00lnemneElhmhml)()()(200lmlhmheml202)(emmh31把看成信号，按帕塞瓦尔定理：时域能量（功率）=频域能量（功率），上式还可以写成：)(mhdeHjef222)(2注：这是无直流分量，即舍入白噪时的结果，如果是截尾白噪，有一个直流分量项，相应还有一个项输出。)(neemfm)()()]([)()()()]()([)]([0000jememmfeHmmhmmneEmhmnemhEnhneEnfEm返回2022)(emfmh例：设有一8位（b=7）的A/D转换器，它的输出经下列系统函数的IIR滤波器：ˆ()xn()0.999zHzz1622500.250.002543f求此滤波器输出端的量化噪声功率。解：由于A/D转换器的量化效应，输入此滤波器的噪声功率为22111d2(0.999)(0.999)feczjzzz根据留数定理，可求得9.4数字滤波器的系数量化效应理想数字滤波器)()(1)(10zAzBzazbzHNkkkMkkkkkba,系数都是无限精度。由于有限字长效应，系数量化会使零极点偏移，造成频响有偏移，甚至严重时，如果z平面单位圆内极点偏移到单位圆外，系统就不稳定，滤波器就不能使用了。系数量化对滤波器的影响固然和字长有关，和滤波器的结构也有密切的关系。通过极点灵敏度的分析，能反应不同结构下，系数量化对零、极点位置的影响。从而选择合适的字长，以满足频率响应指标的要求。一、极点位置灵敏度极点位置灵敏度是指每个极点位置对各系数偏差的灵敏程度。现在分析一个N阶直接型结构的IIR滤波器的系统函数)()(1)(10zAzBzazbzHNkkkMkkk当系数量化后，其实际系统函数为：01ˆ()ˆ()()ˆ1MkkkNkkkbzBzHzAzaz式中，分别是量化以后的系数ˆˆ,kkabˆˆkkkkkkaaabbb现在分析极点的情况，设A(z)的根为zi，于是111()1(1)NNkkkkkAzazzz令的极点为ˆ()Hz,1,2,iizziN1