09数学建模+排队论

12第8章排队论(QueuingTheory)排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是运筹学的一个主要分支。1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A.K.Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论”标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领域中均得到应用。38排队论•8-1前言•8-2基本概念•8-3输入过程和服务时间分布•8-4泊松输入—指数服务排队模型•8-5M/M/1无限源系统•8-6系统容量有限的排队系统•8-7顾客源有限的排队系统4排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如，上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常常出现排队和等待现象。前言5除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现象。如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。前言6排队的不一定是人，也可以是物：例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上原料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待修理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等。前言7上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”,提供服务的人或机构称为“服务台”或“服务员”。前言8不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统，见图8-1至图8-5。图8-1单服务台排队系统前言9图8-2单队列——S个服务台并联的排队系统图8-3S个队列——S个服务台的并联排队系统前言10图8-4单队——多个服务台的串联排队系统图8-5多队——多服务台混联网络系统前言11图8-6随机服务系统前言一般的排队系统，都可由下面图加以描述。通常称由图8-6表示的系统为一随机聚散服务系统。任一排队系统都是一个随机聚散服务系统。“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。12面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队，通常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费。如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。前言13顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。这就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决的问题。前言14排队结构服务机构顾客源顾客到达排队规则服务规则离去图1排队系统示意图一、排队系统的组成与特征排队系统一般有三个基本组成部分：1.输入过程；2.排队规则；3.服务机构。§8-2排队系统的基本概念15输入即为顾客的到达，可有下列情况：1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。2）顾客是成批到达或是单个到达。3）顾客到达间隔时间可能是随机的或确定的。4）顾客到达可能是相互独立或关联的。所谓独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。5）输入过程可以是平稳的（stationary）或说是对时间齐次的（Homogeneousintime），也可以是非平稳的。输入过程平稳的指顾客相继到达的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。1.输入过程16这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。可以分为损失制、等待制、混合制3大类。(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。2.排队规则17(2)等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则：①先到先服务（FCFS）。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。②后到先服务（LCFS）。仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。2.排队规则18③随机服务（RAND）。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。④优先权服务（PR）。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等，均属于此种服务规则。2.排队规则19(3)混合制．这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种：①队长有限。当排队等待服务顾客人数超过规定数量时，后来顾客就自动离去，另求服务。如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的。2.排队规则20②等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客自动离去，不再回来。如易损坏的电子元器件的库存问题，超过一定存储时间被自动认为失效。又如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店用餐。2.排队规则21③逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区域的时间为t时，若在这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记c为系统中服务台的个数，则当K=c时，混合制即成为损失制；当K=∞时，混合制即成为等待制。2.排队规则223.服务机构1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队列，不同形式的排队服务机构。如前图8-1到8-5：2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。3)服务时间分为确定型和随机型。4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。23上述特征中最主要的、影响最大的是：•顾客相继到达的间隔时间分布•服务时间的分布•服务台数D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall记号(适用于并列服务台)即：[X/Y/Z]:[d/e/f]二、排队系统的描述符号与模型分类24式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。M—负指数分布Markov，D—确定型分布Deterministic，Ek—K阶爱尔朗分布Erlang，GI—一般相互独立随机分布(GeneralIndependent)，G—一般随机分布。Y——填写服务时间分布（与上同）Z——填写并列的服务台数d——排队系统的最大容量e——顾客源数量f——排队规则如[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队系统模型。25三、排队论研究的基本问题1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化）。26排队问题求解(主要指性态问题)求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。排队问题的一般步骤：1.确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和服务时间分布(可实测)。2.研究分析排队系统理论分布的概率特征。3.研究系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。27求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此常常使用它的极限(如果存在的话)：nttnp)(plim稳态的物理意义图，系统的稳态一般很快都能达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。要注意的是求稳态概率Pn并不一定求t→∞的极限,只需求Pn’(t)=0。过渡状态稳定状态pnt图3排队系统状态变化示意图称为稳态(steadystate)解，或称统计平衡状态(StatisticalEquilibriumState)的解。284.根据排队系统对应的理论模型求用以判断系统运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。数量指标主要包括:(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。平均队列长（Lg）:系统中排队等待服务的顾客数。系统中顾客数Ls=系统中排队等待服务的顾客数Lg+正被服务的顾客数c(2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。平均等待时间(Wg):一个顾客在系统中排队等待的时间。(3)忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度）5.排队系统指标优化含优化设计与优化运营。问题1系统中顾客数=平均队长（Ls）+1？29四、排队论主要知识点•排队系统的组成与特征•排队系统的模型分类•顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与理论分布•稳态概率Pn的计算•标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS])•系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS]•顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/FCFS]•标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]30•M/M/C型系统和C个M/M/1型系统•系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/∞)•顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/∞/M)•一般服务时间的（M/G/1）模型–Pollaczek-Khintchine(P-K)公式–定长服务时间M/D/1模型•爱尔朗服务时间M/Ek/1模型•排队系统优化•M/M/1模型中的最优服务率u–标准的M/M/1Model–系统容量为N的情形•M/M/C模型中最优服务台数C318-3到达间隔时间分布和服务时间的分布一个排队系统的最主要特征参数是顾客的到达间隔时间分布与服务时间分布。要研究到达间隔时间分布与服务时间分布需要首先根据现存系统原始资料统计出它们的经验分布，然后与理论分布拟合，若能照应，我们就可以得出上述的分布情况。32一、经验分布经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假设分布。分布的拟合检验一般采用χ2检验。由数理统计的知识我们知：若样本量n充分大(n≥50)，则当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度为k-r-1的χ2分布，其中k为分组数，r为检验分布中被估计的参数个数。33式中：fi——实际频数ni——理论频数上面方法的应用必须注意n要足够大，npi不能太小。一般地n要大于50，而分组的npi应不小于5。•例题：某公共汽车站，统计来站的乘客流，规定每隔1分钟统计一次乘客到达情况，共统计100次，其结果如表所示，问顾客是否服从普阿松流。kiiiinpnpf122)()1(22rk当时，在显著水平α下接受假设H034状态i01234567891011≥12实际频数fi15161726119921210解：先估计分布的参数λ，由极大似然估计法得：2.4ˆx!}{ieixPi,并根据公式可计算出理论频率、理论频数及项iinpfiiinpnpf2)(见下页表所示2815.6592.12)6()1(05.0rk查表知:故可接受泊松分布假设。35fi