薛定谔方程

大学物理学电子教案量子物理（4）19-8量子力学简介•波函数概率密度•薛定谔方程•一维势阱问题•对应原理•一维方势垒隧道效应复习•德布罗意波实物粒子的二象性•不确定关系hEhP＝Ph＝hpxx19-8量子力学简介薛定谔(ErwinSchrödinger,1887–1961)薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在《量子化就是本征值问题》的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为《什么是生命——活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。狄拉克（PaulAdrienMauriceDirac，1902-1984）英国理论物理学家。1925年，他作为一名研究生便提出了非对易代数理论，而成为量子力学的创立者之一。第二年提出全同粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出了电子的相对论性运动方程，奠定了相对论性量子力学的基础，并由此预言了正负电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的存在，使人们对物质世界的认识更加深入。他还有许多创见（如磁单极子等）都是当代物理学中的基本问题。由于他对量子力学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933年诺贝尔物理学奖金。一、波函数概率密度1、平面简谐波的波函数一个频率为，波长为、沿x方向传播的单色平面波的波函数为xtAtxy2cos),(复数形式xtiAetxy2),(2、自由粒子的波函数一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率和波长：hE/ph/波函数可以写成/20,xtietxxhPthEietx20,振幅3、波函数的统计解释某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。dVtzyxdW2,,,概率密度dVdW/波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ|2代表概率密度。波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。,,,,,,xyztxyztdV*玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点•玻恩假定描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”tr,trtrtr,,,*2概率密度例题2：光子自由平面波波函数在空间各点发现光子的概率相同xhPthEietx20,20,EPitrhhrte0,iEtPrrte2,,,rtrtrt=常数•用电子双缝衍射实验说明概率波的含义(1)入射强电子流干涉花样取决于概率分布，而概率分布是确定的。(2)入射弱电子流电子干涉不是电子之间相互作用引起的，是电子自己和自己干涉的结果。单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律.电子数N=7电子数N=100电子数N=3000出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样电子数N=20000电子数N=70000•波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念哥本哈根学派--爱因斯坦著名论战量子力学背后隐藏着还没有被揭示的更基本的规律，这个规律对量子力学有新的解释。上帝不会掷骰子波函数的概率解释是自然界的终极实质玻尔、波恩、海森伯、费曼等还有狄拉克、德布罗意等4、波函数满足的条件标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数。归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内，它不是在这里就是在那里，所以总的概率为1，即对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。归一化条件要求波函数平方可积。1dV归一化因子：若某波函数ΨA未归一化AdVAA*112dVAA归一化因子二、薛定谔方程1、问题的引入在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。建立薛定谔方程的主要依据和思路：•要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式phhE/,/•对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子)(22rVmpE•若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是某粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。波函数应遵从线性方程2、自由粒子的薛定谔方程xptEipxEthieetx020,分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数Etipxi2h2222px考虑到E=p2/2m2222xmti把波函数与方程E=p2/2m相乘，并用tiExiP代替即可。3、势场中运动的粒子的薛定谔方程当粒子在势场中运动PkEEEPEmpE2/2PExmti22224、粒子在三维空间中的薛定谔方程PEmti2222222222zyxPEmH222ˆHtiˆ哈密顿算符5、关于薛定谔方程的说明薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的一个基本原理；薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定鄂方程时，还要加上一些条件：•波函数平方可积，且满足归一化条件；•波函数及其对空间的一阶导数连续；•波函数为单值函数。6、定态薛定鄂方程若粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，即Ep=Ep(r)不显含时间，则薛定鄂方程的一个特解可以写为)(,tfrtrrEmtftfirP222)(rEmrtffiP2221方程左边只与时间有关，而右边是空间坐标的函数。由于空间坐标与时间是相互独立的变量，所以只有当两边都等于同一个常量时，该等式才成立，以E表示该常量，则Eftfi/~)(iEtetf因而薛定鄂方程的特解为/,iEtEertr)()(222rErEmEEPΨE(r)满足下列方程该方程称为定态薛定鄂方程E——能量本征值ΨE(r)——本征函数定态薛定鄂方程也称为本征方程。满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态。在定态下，可以证明：①粒子分布概率不变；②能量不变；③其它力学量平均值不变。三、一维势阱问题以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深方势阱。其定态薛定谔方程：axEP00a,xxEP0)()(2222rErdxdmx=0x=axEP(x)082222Ehmdxd令2228hmEk0222kdxd1、解方程kxBkxAxcossinA,B是积分常数，可由边界条件确定。x=0时，Ψ=0可得B=0，所以Ψ(x)=Asinkxx=a时，Ψ=0可得Ψ(a)=Asinka由于A≠0，所以有sinka=0,3,2,1nnka,3,2,1nankxanAxsin2、能量,3,2,18222nmahnEn(1)粒子的能量只能取分立值，这表明能量具有量子化的性质。(2)n叫做主量子数，每一个可能的能量称为一个能级，n=1称为基态，粒子处于最低状态，E1=h2/(8ma2)，称为零点能；3、波函数的表达式归一化条件121sin2022020aAxdxanAdxdxaaaaA2xanaxsin2222121maEn4212EEn9312EEn16412EEnxOaE粒子在各处出现的概率密度xanax22sin2一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和概率密度讨论：•量子数n对运动结果的影响•势阱宽度a对运动结果的影响•粒子质量m对运动结果的影响n=4n=3n=2n=1)(xn2|)(|xn四、对应原理在某些极限情况下，量子力学规律可以转化为经典力学规律，这就是量子力学的对应原理。1、能级差221812mahnEEEnn对于微观粒子，a小，所以ΔE大，量子效应显著。若在普通宏观尺度范围内，能级之间的间隔很小，能量的量子化就不显著。即使n的值较大，相邻能级之间的间隔仍然是很小的，这时可以把能量看成是连续分布的。2、能级的相对间隔nEEn2当n→∞时，能量的量子化效应不显著，可以认为能量是连续分布的。所以经典物理可以看成是量子物理中量子数n→∞时的近似。五、一维方势垒隧道效应其它,00)(0PPEaxxxE在经典力学中,若EEP0，粒子的动能为正，它只能在I区中运动。0VVOaIIIxIII0),()(212122xxEdxxdmaxxExEdxxdmP0),()()(22202222axxEdxxdm),()(2323220,0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0,0)()(221222axxkdxxd,0)()(322322021)(2EEmkP222mEk令：三个区间的薛定谔方程化为：0,Re)(1xAexikxikx若考虑粒子是从I区入射，在I区中有入射波和反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III区，在III区只有透射波。粒子在x=0处的几率要大于在x=a处出现的几率。其解为：axTexxk0,)(12axCexikx,)(3根据边界条件)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32解的的结果如图所示定义粒子穿过势垒的贯穿系数：2123|)0(||)(|aP)02exp()2exp(|)0(||)(|112222kTakTaP))(22exp()2exp(01EEmaakP隧道效应当E-EP0=5eV时，势垒的宽度约50nm以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。0PEPEaoxIIIIII隧道效应的应用——扫描隧道显微镜STM小结•波函数概率密度•薛定谔方程•一维势阱问题•对应原理•一维方势垒隧道效应作业思考题：P30926，27，28，29习题：P31116，20，22，24预习：19-9，19-10