江苏省南京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题

高二数学期末调研（文科）第1页共10页南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科）2017.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆否命题是▲．2．双曲线x2－y24＝1的渐近线方程是▲．3．已知复数a＋2i1－i为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是▲．4．在平面直角坐标系xOy中，点(4，3)到直线3x－4y＋a＝0的距离为1，则实数a的值是▲．5．曲线y＝x4与直线y＝4x＋b相切，则实数b的值是▲．6．已知实数x，y满足条件x＋y－2≥0，x－y≤0，y≤3，则z＝2x＋y的最大值是▲．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF＝5，则点P的横坐标是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2＋y2＝r2(r＞0)与圆M:(x－3)2＋(y＋4)2＝4相交，则r的取值范围是▲．9．观察下列等式：(sinπ3)－2＋(sin2π3)－2＝43×1×2；(sinπ5)－2＋(sin2π5)－2＋(sin3π5)－2＋(sin4π5)－2＝43×2×3；(sinπ7)－2＋(sin2π7)－2＋(sin3π7)－2＋…＋(sin6π7)－2＝43×3×4；(sinπ9)－2＋(sin2π9)－2＋(sin3π9)－2＋…＋(sin8π9)－2＝43×4×5；……依此规律，高二数学期末调研（文科）第2页共10页当n∈N*时，(sinπ2n＋1)－2＋(sin2π2n＋1)－2＋(sin3π2n＋1)－2＋…＋(sin2nπ2n＋1)－2＝▲．10．若“x∈R，x2＋ax＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是▲．11．已知函数f(x)＝(x2＋x＋m)ex(其中m∈R，e为自然对数的底数)．若在x＝－3处函数f(x)有极大值，则函数f(x)的极小值是▲．12．有下列命题：①“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a＝1”是“直线l1:ax＋y－1＝0与直线l2:x＋ay－2＝0平行”的充分不必要条件；③“函数f(x)＝x3＋mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是▲．13．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，左焦点为F，点M的坐标为(－2c，0)．若椭圆E上存在点P，使得PM＝2PF，则椭圆E离心率的取值范围是▲．14．已知t＞0，函数f(x)＝x(x－t)2，x≤t，14x，x＞t．若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程．高二数学期末调研（文科）第3页共10页16．（本题满分14分）已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；(2)若z1＝(z2)2，求m，n的值．17．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线x＋y－1＝0相切于点P(2，－1)．(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．18．(本题满分16分)高二数学期末调研（文科）第4页共10页某休闲广场中央有一个半径．．为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径(如图)．设∠AOF＝θ，其中O为圆心．(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，两个顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，点M(－1，0)，且3AM→＝MB→，过点M斜率为k(k≠0)的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．ABCFDE（第18题图）Oθ高二数学期末调研（文科）第5页共10页(1)求椭圆E的方程；(2)若BC⊥CD，求k的值；(3)记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．20．（本题满分16分）已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)已知e为自然对数的底数，存在x∈[1e，e]，使得f(x)＝1成立，求a的取值范围；(3)若对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f(1x)成立，求a的取值范围．xAByCMO(第19题图)D高二数学期末调研（文科）第6页共10页南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若|a|≠|b|，则a≠b2．y＝±2x3．24．±55．－36．97．48．(3，7)9．4n(n＋1)310．(－∞，0]∪[4，＋∞)11．－112．②④13．[33，22]14．(3，4)二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）解：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为（6，0），………………2分所以AD的斜率为k＝8－07－6＝8，………………5分所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．………………7分（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝4－(－4)10－2＝1，……9分所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，…………………12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0．…………………………14分16．（本题满分14分）解：（1）当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i，………………4分所以|z1＋z2|＝22＋(－1)2＝5．………………6分（2）若z1＝(z2)2，则m－2i＝(1－ni)2，所以m－2i＝(1－n2)－2ni，……………10分所以m＝1－n2，－2＝－2n，………………12分高二数学期末调研（文科）第7页共10页解得m＝0，n＝1．………………14分17．（本题满分14分）解：（1）过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由y＝－2x，x－y－3＝0，解得x＝1，y＝－2．所以圆心M的坐标为(1，－2)，………………4分所以圆M的半径为r＝(2－1)2＋[－1－(－2)]2＝2，………………6分所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．………………7分（2）因为直线l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离为d＝2－(62)2＝22，……………9分若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，则弦长为2，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，由d＝|k＋2|k2＋(－1)2＝22，………………11分整理得k2＋8k＋7＝0，解得k＝－1或－7，………………13分所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分18．（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分则六边形的面积为f(θ)＝2×12(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，π2)．………………6分（2）f′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．………………10分令f′(θ)＝0，因为θ∈(0，π2)，所以cosθ＝12，即θ＝π3，……………………12分当θ∈(0，π3)时，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，π3)上单调递增；当θ∈(π3，π2)时，f′(θ)＜0，所以f(θ)在(π3，π2)上单调递减，…………14分所以当θ＝π3时，f(θ)取最大值f(π3)＝2(cosπ3＋1)sinπ3＝323．…………15分答：当θ＝π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为323平方百米．…………………………16分19．（本题满分16分）解：（1）因为3AM→＝MB→，高二数学期末调研（文科）第8页共10页所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分又因为ca＝32，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆E的方程为x24＋y2＝1．………………4分（2）方法1设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,则CM→＝(－1－x0，－y0)，CB→＝(2－x0，－y0)．因为BC⊥CD，所以(－1－x0)(2－x0)＋y02＝0．①……………6分又因为x024＋y02＝1，②联立①②，解得x0＝－23，y0＝223，………………8分所以k＝223－23＋1＝22．………………10分方法2因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，所以BC的方程为y＝－1k(x－2)，………………6分联立方程组，可得点C的坐标为(2－k21＋k2，3k1＋k2)，………………8分代入椭圆方程，得(2－k21＋k2)24＋(3k1＋k2)2＝1，解得k＝±22．又因为点C在x轴上方，所以3k1＋k2＞0，所以k＞0，所以k＝22………………10分（3）方法1因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由y＝k(x＋1)，x24＋y2＝1，消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k21＋4k2，x1x2＝4k2－41＋4k2，…………………12分所以k1k2＝k2(x1＋1)(x2＋1)(x1－2)(x2－2)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)x1x2－2(x1＋x2)＋4…………………14分＝k2(4k2－41＋4k2－8k21＋4k2＋1)4k2－41＋4k2＋2×8k21＋4k2＋4＝－3k236k2＝－112，高二数学期末调研（文科）第9页共10页所以k1k2为定值．……………16分方法2因为直线BC的方程为y＝k1(x－2)，由y＝k1(x－2)，x24＋y2＝1，得C(8k12－21＋4k12，－4k11＋4k12)，………………12分同理D(8k22－21＋4k22，－4k21＋4k22)，由于C，M，D三点