二次型化为标准型

4251300110010101011010001010010111§6.2二次型化为标准型一、正交变换化二次型为标准形二、拉格朗日配方法的具体步骤Page2一、正交变换化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．说明2222211nnTTykykykACyCy2,.fxCy要使二次型经可逆变换变成标准形就是要使,),,,(212121yyykkkyyynnn1,,;T.xCyfABCAC二次型经可逆变换后其秩不变但的矩阵由变为Page3有型把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩,.,,,1APPAPPPAT,1,,nijijijjiijfaxxaaxPyf定理1任给二次型总有正交变换使化为标准形,2222211nnyyyf.,,,21的特征值的矩阵是其中ijnaAf.TCAC也就是要使成为对角矩阵Page4用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求出将二次型表成矩阵形式;,,,.221nA的所有特征值求出;,,,.321n征向量求出对应于特征值的特;,,,,,,,,,,,,.4212121nnnC记得单位化正交化将特征向量.,.52211nnyyffCyx的标准形则得作正交变换Page5解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值144241422217A144241422217EA9182.,844141417323121232221化成标准形通过正交变换将二次型Pyxxxxxxxxxxf例1Page6从而得特征值.18,9321得基础解系代入将,091xEA2．求特征向量得基础解系代入将,01832xEA,)0,1,2(2T.)1,0,2(3T3．将特征向量正交化,11取.)1,1,21(1T,22,,,2223233得正交向量组.)1,54,52(3T,)0,1,2(2T,)1,1,21(1TPage7,3,2,1,iiii令得,051522,3232311.4554544523.45503245451324525231P所以4．将正交向量组单位化，得正交矩阵PPage8于是所求正交变换为,45503245451324525231321321yyyxxx.18189232221yyyf且有Page9二、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．Page101.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;ixixkkjijjiiyxyyxyyxjiknk,,,2,1且拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换0ija),(ji化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.Page11解32312123222162252xxxxxxxxxf.,62252323121232221并求所用的变换矩阵为标准形化二次型xxxxxxxxxf例231212122xxxxx322322652xxxx的项配方含有x1含有平方项2321xxx322322652xxxx3223222xxxx去掉配方后多出来的项Page12322322232144xxxxxxx.22322321xxxxx3332232112xyxxyxxxy令3332232112yxyyxyyyx321321100210111yyyxxxPage1332312123222162252xxxxxxxxxf.2221yy所用变换矩阵为.01,100210111CCPage14,33212211yxyyxyyx令解,622323121xxxxxxf代入.842232312221yyyyyyf得.,622323121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型xxxxxxf例3由于所给二次型中无平方项，所以yyyxxx321321100011011即Page15再配方，得.622223232231yyyyyf333223112yzyyzyyz令,233322311zyzzyzzy.622232221zzzf得zzzyyy321321100210101即Page16所用变换矩阵为100210101100011011C.100111311.02C