高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程

第四章圆与方程知识点与习题1.★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的集合可以写作：P={M||MA|=r}★2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外;当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内;（2）一般方程022FEyDxyx（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4（0422FED）当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ1+ｒ24条外切ｄ＝ｒ1+ｒ23条相交|ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ22条内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2|1条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法）注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线★5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程①若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程；②若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程；③若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线，得到的切线长相等（反之，亦成立）★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）★7、已知两圆相交，求公共弦的长度①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）★8、圆系与圆系方程(1)圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2)圆系方程：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0（Ⅰ）①若圆C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P1、P2两点的圆的方程。②若圆C1与圆C2交于P点（一个点），则方程（Ⅰ）代表过P点的圆的方程。★9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★10、空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组),,(zyx，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组),,(zyx，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组),,(zyx来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M),,(zyx，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。★11、空间两点间的距离公式1、空间中任意一点),,(1111zyxP到点),,(2222zyxP之间的距离公式22122122121)()()(zzyyxxPP一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析：将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距0－32＋0－42＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案：C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0D．x－3y＋1＝0解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y＋21＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案：A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1，－1B．2，－2C．1D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得|1＋a＋0＋1|1＋a2＋1＝1，即|a＋2|＝a＋12＋1，平方整理得a＝－1.答案：D4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是()A．x＋6y－10＝0B.6x－2y＋10＝0C．x－6y＋10＝0D．2x＋6y－10＝0解析：∵点M(2，6)在圆x2＋y2＝10上，kOM＝62，∴过点M的切线的斜率为k＝－63，故切线方程为y－6＝－63(x－2)，即2x＋6y－10＝0.答案：D5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是()A．(－3,3，－1)B．(－3，－3，－1)C．(3，－3，－1)D．(3,3,1)解析：点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)．答案：D6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝()A．5B.13C．10D.10解析：依题意得点A(1，－2，－3)，C(－2，－2，－5)．∴|AC|＝－2－12＋－2＋22＋－5＋32＝13.答案：B7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A.3B.2C.3或－3D.2和－2解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线y＝kx＋1的距离为12，∴11＋k2＝12，∴k＝±3.答案：C8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4B．3C．2D．1解析：两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝2＋22＋5－22＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0D．x－2y＋3＝0解析：依题意知，直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9πB．πC．2πD．由m的值而定解析：∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案：B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析：设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋32，y＝y12，∴x1＝2x－3，y1＝2y.又点P(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.答案：C12．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．(0，512)B．(512，＋∞)C．(13，34]D．(512，34]解析：如图所示，曲线y＝1＋4－x2变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)，当直线l与半圆相切时，有|－2k＋4－1|k2＋1＝2，解得k＝512.当直线l过点(－2,1)时，k＝34.因此，k的取值范围是512k≤34.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．解析：圆心(0,0)到直线3x＋4y－25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4.答案：414．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．解析：r＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝215．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析：已知方程配方得，(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)，圆心坐标为(－a，a)，它在直线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．答案：②16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．解析：由x2＋y2－6x－2y－15＝0，得(x－3)2＋(y－1)2＝25.圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离d＝|3＋2×1|5＝5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．解：解法1：连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即yx·yx－4＝－1，即x2＋y2－4x＝0①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义知，P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－