4_2刚体定轴 转动定律

第四章刚体力学Pz*OFdFrMsinMFrd:力臂d刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.FrFrM对转轴Z的力矩F0,0iiMF0,0iiMFFFFF一力矩M4.2刚体定轴转动定律第四章刚体力学zOkFr讨论FFFzFrkMzsinrFMzzFF1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量F2）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩zFF第四章刚体力学3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第四章刚体力学Ormz二转动定律FtFnFsinrFMmrmaFtt2iejjjjrmMM2）刚体质量元受外力，内力jFejFiM1）单个质点与转轴刚性连接m外力矩内力矩2mrM2tmrrFMOzjmjrjFejFi第四章刚体力学刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.αrmMMjjjjjj2ie0jijjiijMMM)αrmMjjjj2e(转动定律JM2jjjrmJ定义转动惯量mrJd2OzjmjrjFejFi第四章刚体力学mrJrmJjjjd,22三转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJjjj转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元md第四章刚体力学对质量线分布的刚体：：质量线密度lmdd对质量面分布的刚体：：质量面密度Smdd对质量体分布的刚体：：质量体密度Vmdd：质量元md质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22第四章刚体力学lO´O解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22例3一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.mlrd2l2lO´O2121ml如转轴过端点垂直于棒第四章刚体力学oR例4一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解：rrmdπ2dmrJd2rrdπ23RrrJ03dπ224212πmRRrdr第四章刚体力学2mdJJCO四平行轴定理P转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量CJmddCOm注意2221mRmRJP圆盘对P轴的转动惯量RmO第四章刚体力学例5质量为的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从BmCm再求线加速度及绳的张力.静止落下距离时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCm第四章刚体力学ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.T2FT1FCPCF第四章刚体力学2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F第四章刚体力学（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律fM结合（1）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRaJMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM第四章刚体力学2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa第四章刚体力学例题6一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m2如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这边绳的张力为T1、T1’(T1’=T1)，物体2这边的张力为T2、T2’(T2’=T2)第四章刚体力学因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的方向垂直纸面向外。可列出下列方程JMrTrTamTGamGT1222'211'1式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得ram1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2第四章刚体力学mmmrMgmmrJmmrMgmmar21//121221212mmmrMgmmmagmT21/212121212＋－mmmrMgmmmagmT21/212122111而第四章刚体力学rmmmrMgmmra21/1212当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有gmmmmTT1221212gmmmma1212第四章刚体力学本题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、m2、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能更精确地测出a来。m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m221212/rJmmrMgmmar第四章刚体力学例7一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.lm解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NFJmglsin21第四章刚体力学式中231mlJddddddddtt得sin23lg由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分得)cos1(3lgJmglsin21第四章刚体力学例8一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为0，绕中O心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）Or解：rmgrFMddd22d2dπ2πdRrmrrrRmm22d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022drR第四章刚体力学tJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttd43dgRtgRt430