3 常见概率分布

第三章常见概率分布Today:2020/1/18第一节二项分布第二节泊松分布第三节正态分布内容提要Today:2020/1/18教学重点：1.正态分布、二项分布、泊松分布的概率计算方法及应用；2.正态分布标准化的方法3.正态分布表、t值表的用法教学要求：掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概率计算方法及应用Today:2020/1/18一、贝努利试验及其概率公式（一）独立试验和贝努利试验对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件与之一;在每次试验中出现A的概率是常数p（0p1）,因而出现对立事件的概率是1-p=q,则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验。AAA第一节二项分布（Binomialdistribution）Today:2020/1/18（二）二项分布的概率在n重贝努利试验中，事件A发生x次的概率恰好是（q+p）n二项展开式中的第x+1项，因此将称作二项概率公式。二、二项分布的意义及其性质（一）定义设随机变量X所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…,n,且有（其中p0,q0,p+q=1）,则称随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为n.....,,,k,qp)k(PknkknnC210==－n.....,,,k,qp)k(P)kX(PknkknnnC210====－)p,n(B~xToday:2020/1/18（二）二项分布的性质二项分布是一种离散型随机变量的概率分布，由n和p两个参数决定，参数n称为离散参数，只能取正整数；p是连续参数，取值为0与1之间的任何数值。二项分布具有概率分布的一切性质，即：（k=0,1,2,…,n）二项分布的概率之和等于1，即：0≥(k)P=k)=P(Xn10=+=∑=nnkknkkn)pq(qpC－Today:2020/1/18∑m0=kknkknnqpC=m)≤(kP=m)≤P(X∑nm=kknkknnqpC=m)≥(kP=m)≥P(X)m≤m(qpC)m≤k≤m(P)m≤X≤m(Pmmkknkknn21212121∑===二项分布的性质Today:2020/1/18三、二项分布的平均数与标准差统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：当试验结果以事件A发生次数k表示时当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，也称率的标准误。pσnpq=σnp=μ/n(pq)=σp=μppToday:2020/1/18四、二项分布的概率计算及其应用条件（一）概率计算直接利用二项概率公式[例6]有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的各种可能情况的概率。这个问题属于贝努里模型(?)，其中，孵化6枚种蛋孵出的小鸡数x服从二项分布.其中x的可能取值为0，1，2，3，4，5，6。6=n0.15=0.851=q0.85,=p)85.0,6(BToday:2020/1/180000113901501508500660066.).().().(C)(P===0003872801508506150850151161166.).().().().(C)(P===－00548648015085015150850242262266.).().().().(C)(P===－04145344015085020150850333363366.).().().().(C)(P===－17617711015085015150850424464466.).().().().(C)(P===－3993347801508506150850515565566.).().().().(C)(P===－37714952085015085066066666.).().().(C)(P===－思考：求至少孵出3只小鸡的概率是多少？孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？其中：Today:2020/1/18（一）应用条件（三个）n个观察单位的观察结果互相独立;各观察单位只具有互相对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料。已知发生某一结果(如死亡)的概率为p，其对立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p是从大量观察中获得的比较稳定的数值。观察结Today:2020/1/18要观察到这类事件，样本含量n必须很大。在生物、医学研究中，服从泊松分布的随机变量是常见的。此外，由于泊松分布是描述小概率事件的，因而二项分布中当p很小n很大时，可用Today:2020/1/18泊松分布是用来描述和分析稀有事件即小概率事件分布规律的函数。一、泊松分布的意义（一）定义若随机变量X(X=k)只取零和正整数值，且其概率分布为则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P(λ)。（二）特征μ=σ2=λ2.7182=e0;λ;0,1,=kek!λ=k)=P(Xλk－第二节泊松分布PossiondistributionToday:2020/1/18二、泊松分布的概率计算以样本平均数作为λ的估计值[例]我们调查了200个奶牛场，统计各场某10年内出现的怪胎（如缺皮症，全身无毛等）的头数，然后以怪胎头数把200个奶牛场分类，统计每类中奶牛场数目，结果如下：试研究10年内母牛怪胎数的概率分布。10年内母牛产怪胎次数（m）01234总计奶牛场数（f）109652231200例ek!λ=k)=P(Xλk－Today:2020/1/18先假设母牛产怪胎数的概率分布为泊松分布。根据观察结果计算每一奶牛场10年内母牛产怪胎的平均数，根据加权法可得：用=0.61估计λ，代入计算当m=0,1,2,3,4时的概率和理论次数怪胎数（m）01234总计实际次数（f）109652231200概率（理论）0.54340.33140.10110.02060.00310.9996理论次数108.6866.2820.224.120.62199.92xx0.61=2001×4+3×3+2×22+1×65+0×109=nfx=x∑λkek!λ=k)=P(x－Today:2020/1/18下面我们再来证实我们所得的资料是否具有泊松分布的特征。已经计算出=0.61，样本方差计算如下，与很接近，这正是泊松分布所具有的特征。0.611=199200/122—4x1+3×3+2×22+1×65+0×109=1ν/ν)φμ(—φμ=Σ222222222∑∑xx2SToday:2020/1/18一、正态分布的定义及其特征（一）定义若连续性随机变量X的概率分布密度函数为：其中，µ为平均数，σ2为方差，则称随机变量χ服从正态分布,记为χ～N(µ,σ2).相应的概率分布函数为第三节正态分布normaldistribution0σ,∞+x∞,eπ2σ1=f(x)22σ2μ)(x－－－∫x∞σ2μ)(x22eπ2σ1=F(x)－－－Today:2020/1/18（二）特征正态分布密度曲线是以χ=µ为对称轴的单峰、对称的悬钟形；f(x)在χ=µ处达到极大值,极大值为f(x)是非负数，以x轴为渐进线；正态分布密度函数曲线π2σ1=μf）（Today:2020/1/18正态分布有两个参数，即平均数µ和标准差σ。µ是位置参数，σ是变异度参数。分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：正态分布密度函数曲线特征1=dxeπ2σ1=)∞+xP22σ2μ)(x∞+∞－－－（－∫∞Today:2020/1/18μ相同而σ不同的三个正态总体σ相同而μ不同的三个正态总体特征Today:2020/1/18（一）定义称µ=0,σ2=1的正态分布为标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数及分布函数如下：若随机变量µ服从标准正态分布，记作μ～(0,1)∫μ∞2μ－2μ－dμeπ2σ1=Φ(μ),eπ2σ1）＝(μ22二、标准正态分布standardnormaldistributionToday:2020/1/18（二）标准化的方法对于任何一个服从正态分布(μ,σ2)的随机变量χ，都可以通过标准化变换：u=(χ-μ)/σ即减平均数后再除以标准差，将其变换为服从标准正态分布的随机变量μ。对不同的μ及P(Uu)值编成函数表，称为正态分布表，从中可以查到任意一个区间内曲线下的面积，即为概率。Today:2020/1/18三、正态分布的概率计算（一）标准正态分布的概率计设u服从标准正态分布，则μ落在μ1,μ2]内的概率dueπ21=)uu≤P(u212uu2u21∫dueπ21dueπ21=1222u∞2uu∞2u∫∫－－－－)Φ(u—)Φ(u=12可由附表查由附)Φ(u与)Φ(u而120.99=σ)2.58μ+x≤σ2.58P(μ0.95=σ)1.96μ+x≤σ1.96P(μ0.9973=σ)3μ+x≤σ3P(μ0.9545=σ)2μ+x≤σ2P(μ0.6826=σ)μ+x≤σP(μ－－－－－应熟记的几种标准正态分布概率Today:2020/1/18（二）一般正态分布的概率计算将区间的上下限标准化：服从正态分布的随机变量χ落在〔χ1,χ2〕内的概率，等于服从标准正态分布的随机变量u落在的概率。查标准正态分布表[例]若χ服从μ=30.26,σ2=5.102的正态分布，试求P(21.64≦x﹤32.98)。令u=(χ-30.26)/5.10,则u服从标准正态分布，故()()[)]/σμ—x/σμ—x210.6564=1.69)Φ(Φ(0.53)=0.53)μ≤1.6P(=)5.1030.2632.985.1030.26x≤5.1030.2621.64P(=32.98)x≤P(21.64－－－－－－9Today:2020/1/18（三）双侧（两尾）概率与单侧（一尾）概率随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间之外的概率称为双侧概率（两尾概率），记作α对应于双侧概率可以求得随机变量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，称为单侧概率（一尾概率），记作α/2如x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的双侧概率为0.05，而单侧概率为0.025。即0.025=σ)1.96μ+P(x=σ)1.96—μP(x0.005=σ)2.58μ+P(x=σ)2.58—μP(xαkσσμ+P(xkσσ—μP(x=+2α/=kσσμ+P(x=kσσ—μP(xToday:2020/1/18标准正态双侧分位数的查法：附表3①标准正态分布②③为双侧临界值u为双侧概率，α其中　0≥u　)uuP(1=)uuP(=ααααα)1,0(~Nu临界值下侧临界值上侧临界值侧的双侧α表示u或u的α表示u的α表示u）（双α2／αα－α正态分布密度函数曲线