概率论与数理统计答案(2)

1习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】353524353,4,51(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXPXPXPX故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；(3)133{},{1},{1},{12}222PXPXPXPX.【解】313315122133151133150,1,2.C22(0).C35CC12(1).C35C1(2).C35XPXPXPX故X的分布律为X012P22351235135（2）当x0时，F（x）=P（X≤x）=0当0≤x1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=22352当1≤x2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1故X的分布函数0,022,0135()34,12351,2xxFxxx(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535PXFPXFFPXPXPXPXFFPX3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C0.8(0.2)0.096(2)C(0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512PXPXPXPX故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3xxFxxxx(2)(2)(3)0.896PXPXPX4.（1）设随机变量X的分布律为3P{X=k}=!kak，其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.（2）设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，试确定常数a.【解】（1）由分布律的性质知001()e!kkkPXkaak故ea(2)由分布律的性质知111()NNkkaPXkaN即1a.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率;（2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)(1)()(0,0)(1,1)(2,2)PXYPXYPXYPXY(3,3)PXY33121233(0.4)(0.3)C0.6(0.4)C0.7(0.3)[phone]C(0.6)0.4C(0.7)0.3(0.6)(0.7)0.32076(2)()(1,0)(2,0)(3,0)PXYPXYPXYPXY(2,1)(3,1)(3,2)PXYPXYPXY12322333C0.6(0.4)(0.3)C(0.6)0.4(0.3)33221233(0.6)(0.3)C(0.6)0.4C0.7(0.3)31232233(0.6)C0.7(0.3)(0.6)C(0.7)0.3=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各4飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有()0.01PXN即2002002001C(0.02)(0.98)0.01kkkkN利用泊松近似2000.024.np41e4()0.01!kkNPXNk查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）(2)1(0)(1)PXPXPX0.10.11e0.1e8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则1422355C(1)C(1)pppp故13p所以4451210(4)C()33243PX.9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）5553(3)C(0.3)(0.7)0.16308kkkkPX(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）7773(3)C(0.3)(0.7)0.35293kkkkPY10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分5布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1）32(0)ePX(2)52(1)1(0)1ePXPX11.设P{X=k}=kkkpp22)1(C,k=0,1,2P{Y=m}=mmmpp44)1(C,m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=59，试求P{Y≥1}.【解】因为5(1)9PX，故4(1)9PX.而2(1)(0)(1)PXPXp故得24(1),9p即1.3p从而465(1)1(0)1(1)0.8024781PYPYp12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np得25e2(5)0.00185!PX13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】1,2,,,Xk113()()44kPXk(2)(4)(2)PXPXPXk321131313()()444444k213141451()4614.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)PXPXPX由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有5140e5(15)10.000069!kkPXk(2)P(保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)PXPX5100e50.986305!kkk即保险公司获利不少于10000元的概率在98%P（保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)PXPX550e50.615961!kkk即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae|x|,∞x+∞,求：（1）A值；（2）P{0X1};(3)F(x).【解】（1）由()d1fxx得||01ed2ed2xxAxAxA故12A.(2)11011(01)ed(1e)22xpXx(3)当x0时，11()ede22xxxFxx当x≥0时，0||0111()ededed222xxxxxFxxxx11e2x7故1e,02()11e02xxxFxx16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=.100,0,100,1002xxx求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F（x）.【解】（1）15021001001(150)d.3PXxx33128[(150)]()327pPX(2)1223124C()339p(3)当x100时F（x）=0当x≥100时()()dxFxftt100100()d()dxfttftt2100100100d1xttx故1001,100()0,0xFxxx17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知X~∪[0,a]，密度函数为1,0()0,xafxa其他故当x0时F（x）=0当0≤x≤a时001()()d()ddxxxxFxfttftttaa当xa时，F（x）=1即分布函数80,0(),01,xxFxxaaxa18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即1,25()30,xfx其他5312(3)d33PXx故所求概率为22333321220C()C()33327p19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布1()5E.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依题意知1~()5XE，即其密度函数为51e,0()50,xxfxx0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)ede5xPXx2~(5,e)Yb,即其分布律为225525()C(e)(1e),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e)0.5167kkkPYkkPYPY20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N（40，102），则406040(60)(2)0.977271010xPXP9若走第二条路，X~N（50，42），则506050(6