概率论与数理统计答案

习题答案第1章三、解答题1．设P(AB)=0，则下列说法哪些是正确的？(1)A和B不相容；(2)A和B相容；(3)AB是不可能事件；(4)AB不一定是不可能事件；(5)P(A)=0或P(B)=0(6)P(A–B)=P(A)解：(4)(6)正确.2．设A，B是两事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，问：(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为)()()()(BAPBPAPABP，又因为)()(BAPBP即.0)()(BAPBP所以(1)当)()(BAPBP时P(AB)取到最大值，最大值是)()(APABP=0.6.(2)1)(BAP时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3．已知事件A，B满足)()(BAPABP，记P(A)=p，试求P(B)．解：因为)()(BAPABP，即)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPABP，所以.1)(1)(pAPBP4．已知P(A)=0.7，P(A–B)=0.3，试求)(ABP．解：因为P(A–B)=0.3，所以P(A)–P(AB)=0.3,P(AB)=P(A)–0.3,又因为P(A)=0.7，所以P(AB)=0.7–0.3=0.4，6.0)(1)(ABPABP.5．从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：显然总取法有410Cn种，以下求至少有两只配成一双的取法k：法一：分两种情况考虑：15Ck24C212)(C+25C其中：2122415)(CCC为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：!2161815CCCk+25C其中：!2161815CCC为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815CCCk+25C其中：)(142815CCC为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815CCk-25C法五：考虑对立事件：410Ck-45C412)(C其中：45C412)(C为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：!4141618110410CCCCCk其中：!4141618110CCCC为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410Ckp6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求：(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率．解：(1)法一：12131025CCp，法二：1213102513AACp(2)法二：20131024CCp，法二：2013102413AACp7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．解：设M1,M2,M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则834)(3341AMP,1694)(324232ACMP,1614)(3143CMP8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：设M2,M1,M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则3.0)(25232CCMP,6.0)(2512131CCCMP,1.0)(25221CCMP9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则2121MMMMM且.所以.2813CCCC)()()()(282328252121MPMPMMPMP10．若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样本空间={(x，y)：0x，y1}事件A=“两数之和小于6/5”={(x，y)：x+y6/5}因此2517154211)(2的面积的面积AAP．图？11．随机地向半圆220xaxy（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率．解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间={(x，y)：220,20xaxyax}事件A=“原点和该点的连线与x轴的夹角小于4”={(x，y)：40,20,202xaxyax}因此211214121)(222aaaAAP的面积的面积．12．已知21)(,31)(,41)(BAPABPAP，求)(BAP．解：,1213141)()()(ABPAPABP,6121121)|()()(BAPABPBP.311216141)()()()(ABPBPAPBAP13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；321)(1)(21026CCAPAP，152)(21024CCBP，5132/152)()()()()|(APBPAPABPABP14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则52)(,53)(1512APCCAP，由全概率公式得,45235253)|()()|()()(19141915CCCCABPAPABPAPBP由贝叶斯公式得.23154523/53)()|()()|(1915CCBPABPAPBAP15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知,01.0)|(,02.0)|(MNPMNP.32)(MP所以,99.0)|(,98.0)|(MNPMNP,31)(MP由贝叶斯公式得.197196)01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(MNPMPMNPMPMNPMPNMP16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为41,31,51，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知,41)(,31)(,51)(321APAPAP所以,43)(,32)(,54)(321APAPAP至少有一人能将此密码译出的概率为.534332541)()()(1)(1221321APAPAPAAAP17．设事件A与B相互独立，已知P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，求)(ABP.解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)将P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7代入上式解得P(B)=0.5，所以.5.05.01)(1)()()(1)()(1)(1)(BPAPBPAPAPABPABPABP或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以.5.05.01)(1)()(BPBPABP18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，已知P(A)=P(B)=1,,5.0)(,6.0)(BMPAMP所以).()()()()(ABPBAPBAPABBABAPMP由于甲乙两人是独立射击目标，所以.8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()(BPAPBPAPBPAPMP75.08.06.01)()|()()()()|(MPAMPAPMPAMPMAP19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问：(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3；Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=,504.09.08.07.0第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=,56.08.07.0可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=.49.07.07.0可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC=，,21)()()(CPBPAP且已知169)(CBAP，求P(A)．解：因为ABC=，所以P(ABC)=0,因为A，B，C两两相互独立，),()()(CPBPAP所以2)]([3)()()()()()()()()(APCPAPCPBPBPAPACPBCPABP由加法公式)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP得169)]([3)(32APAP即0]1)(4][3)(4[APAP考虑到,21)(AP得.41)(AP2．设事件A，B，C的概率都是21，且)()(CBAPABCP，证明：21)()()()(2BCPACPABPABCP．证明：因为)()(CBAPABCP，所以)]()()()()()()([1)(1)(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAPABCP将21)()()(CPBPAP代入上式得到)]()()()(23[1)(ABCPACPBCPABPABCP整理得.21)()()()(2ACPBCPABPABCP3．设0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+1)|(BAP，试证A与B独立．证明：因为P(A|B)+1)|(BAP，所以,1)(1)(1)()()()()()(BPBAPBPABPBPBAPBPABP将)()()()(ABPBPAPBAP代入上式得,1)(1)()()(1)()(BPABPBPAPBPABP两边同