高考数学总复习 第8章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教A版

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系不同寻常的一本书，不可不读哟！1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1个必会技巧直线和圆相交时，适当使用垂径定理(半径、半弦、弦心距满足勾股定理)、切割线定理以及相交弦定理，可以减少运算量．2个必记不同1.从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．2.从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3种必会方法1.求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可．2.几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．3.当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.课前自主导学1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ____0Δ____0Δ____0几何观点d____rd____rd____r(1)直线4x＋3y－40＝0与圆x2＋y2＝100的位置关系________．(2)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0相切，则m的值为________．(3)直线x＝0被x2＋y2－6x－2y－15＝0，所截得弦长等于________．2．圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1＋r2d＝r1＋r2r1－r2dr1＋r2d＝r1－r2dr1－r2(1)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－4y＝0的位置关系________．(2)圆x2＋y2＝1与圆(x－1)2＋y2＝1的公共弦所在的直线________．(3)两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r0)外切，则r＝________.1.＝＝填一填：(1)相交(2)－3或1(3)82．填一填：(1)相交(2)x＝12(3)102核心要点研究例1已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝17，求直线l的倾斜角．[解析](1)证明：将已知直线l化为y－1＝m(x－1)．故直线l恒过定点P(1,1)．因为12＋1－12＝15，故点P(1,1)在已知圆C内，从而直线l与圆C总有两个不同的交点．(2)解：圆半径r＝5，圆心C到直线l的距离为d＝r2－|AB|22＝32，由点到直线的距离公式得|－m|m2＋－12＝32，解得m＝±3，故直线的斜率为±3，从而直线l的倾斜角为π3或2π3.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――→判别式Δ＝b2－4ac0⇔相交，＝0⇔相切，0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相交，d＝r⇔相切，dr⇔相离．[变式探究][2012·安徽高考]若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1,3]C.[－3,1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C解析：因为直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|a－0＋1|2≤r＝2，可得|a＋1|≤2，即a∈[－3,1].例2[2012·天津高考]设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A.[1－3，1＋3]B.(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C.[2－22，2＋22]D.(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)[审题视点]本题考查直线与圆相切条件、点到直线的距离公式及不等式的运用，考查运算求解能力及转化思想，偏难．[解析]∵直线与圆相切，∴|m＋n|m＋12＋n＋12＝1，整理得mn＝(m＋n)＋1，由基本不等式得(m＋n)＋1＝mn≤m＋n22，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解之得m＋n≤2－22或m＋n≥2＋22.[答案]D求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．[变式探究][2013·银川质检]由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A.7B.22C.3D.2答案：A解析：如图，在Rt△PAB中，要使切线PB最小，只需圆心与直线y＝x＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP|min＝42＝22，故|BP|min＝222－12＝7.例3[2012·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A.33B.23C.3D.1[审题视点]考查直线与圆相交求弦长，突破口是“弦心距、半径、弦长之半构成直角三角形”，利用勾股定理计算．[答案]B[解析]由点到直线的距离得，弦心距d＝|5|32＋42＝1，所以弦长AB＝222－1＝23，所以选择B.圆的弦长的常用求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[变式探究][2013·东城模拟]直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A.5x＋12y＋20＝0B.5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C.5x－12y＋20＝0D.5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0答案：D解析：过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1,2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.例4[2012·山东高考]圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离[审题视点]两圆的位置关系问题由两圆的圆心距与两圆的半径来判断(求解)．[答案]B[解析]∵两圆的圆心距为2＋22＋1－02＝17，又∵3－2173＋2，∴两圆相交．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．[变式探究][2013·九江模考]若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)外切，则a＋b的最大值为()A.－32B.－3C.3D.32答案：D解析：圆C1：(x＋a)2＋y2＝4与圆C2：x2＋(y－b)2＝1外切，所以圆心距|C1C2|＝3，即a2＋b2＝9，设a＝3cosθ，b＝3sinθ，则a＋b＝3cosθ＋3sinθ＝32sin(θ＋π4)，故a＋b的最大值是32.课课精彩无限【选题·热考秀】[2012·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．[规范解答]圆C的方程化为标准方程为(x－4)2＋y2＝1，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆C上的点到直线上的点的距离的最小值小于等于1，则圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离小于等于2，所以|4k－2|k2＋1≤2，解得0≤k≤43，故k的最大值是43.[答案]43【备考·角度说】No.1角度关键词：审题视角本题难度不大，问题关键是将两圆的位置关系转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离的取值范围问题去处理．No.2角度关键词：方法突破等价转化法是从题目出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的和未知的问题通过等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的或已知的问题来解决，从而得出正确的结果．其关键是要明确转化的方向或者说转化的目标.经典演练提能1.[2012·陕西高考]已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能答案：A解析：本小题主要考查直线与圆的位置关系，解题的突破口为熟练掌握判断直线与圆位置关系的方法．x2＋y2－4x＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为d＝3－22＋0－02＝12，点P(3,0)恒在圆内，过点P(3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.2.若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A.x＋y－2＝0B.2x－y－7＝0C.2x＋y－5＝0D.x－y－4＝0答案：D解析：由题意可知圆心C(2,0)，则kPC＝0＋12－3＝－1，那么kAB＝1，且直线过点P(3，－1)，则直线AB的方程为y＋1＝1×(x－3)，即x－y－4＝0.答案：A3.[2013·烟台联考]直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B两点，则△ABC的面积为()A.25B.23C.43D.45解析：由题可知，圆C的半径为3，圆心C的坐标为(2，－1)．圆心到直线2x－y＝0的距离d＝|4－－1|22＋－12＝5，所以直线被圆截得的弦长|AB|＝29－5＝4，所以△ABC的面积为S＝12|AB|·d＝12×4×5＝25.故选A.答案：D4.[2013·黑龙江质检]若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程为()A.(x－5)2＋y2＝5B.(x＋5)2＋y2＝5C.(x－5)2＋y2＝5D.(x＋5)2＋y2＝5解析：由题意知，圆心在y轴左侧，排除A，C；设圆心为(a,0)(a0)，则|a＋0|5＝5，∴a＝－5，故选D.5.[2012·江西高考]过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．答案：(2，2)解析：设切点为A，B，设P(x,22－x)，连接PA，PB，PO，则|PO|＝2|OA|＝2，即x2＋(22－x)2＝4，整理得x2－22x＋2＝0，解得x＝2，故P的坐标为(2，2)．