高考数学总复习 第三章第2课时 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 理

第2课时同角三角函数的基本关系与诱导公式教材回扣夯实双基基础梳理1．同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1,其等价形式为：sin2α＝1－cos2α,cos2α＝__________1－sin2α(2)商数关系：_______＝tanα，其等价形式为：sinα＝___________，cosα＝sinαtanα.cosαtanαsinαcosα2．角的对称相关角的终边对称性α与π＋α关于______对称α与π－α关于______对称α与－α(或2π－α)关于x轴对称α与π2－α关于直线______对称原点y轴y＝x组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦__________－sinαsinα_____cosα3.六组诱导公式sinα－sinαcosα组数一二三四五六余弦cosα－cosα____－cosαsinα________正切tanαtanα－tanα______口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限cosα－tanα－sinα课前热身1．sin(－300°)等于()A．－12B.12C．－32D.32答案：D2．若sin(π＋α)＝－12，则cosα等于()A．212B.12C．±32D.32解析：选C.由sin(π＋α)＝－12得－sinα＝－12，即sinα＝12，∴cosα＝±1－sin2α＝±32.3．(2011·高考重庆卷)若cosα＝－35，且α∈π，3π2，则tanα＝__________.解析：∵cosα＝－35且α∈π，3π2，∴sinα＝－45，∴tanα＝43.答案：434.sin2π－αcosπ－αcos5π2＋αsin5π2－α＝________.答案：－1解析：原式＝sin－α－cosαcosπ2＋αsinπ2－α＝sinαcosα－sinαcosα＝－1.考点探究讲练互动考点突破利用诱导公式化简与求值(1)化简：tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πsin－π－α；(2)求值：sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－870°)＋tan120°·tan1050°.例1【解】(1)法一：原式＝－tanα·cos[π＋π－α]·sinπ＋π2－αcosπ＋α·[－sinπ＋α]＝－tanα·[－cosπ－α]·[－sinπ2－α]－cosα·sinα＝－tanα·cosα·－cosα－cosα·sinα＝－tanα·cosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.法二：原式＝－tanα·cos－α·sin－α－π2cosπ－α·sinπ－α＝tanα·cosα·sinα＋π2－cosα·sinα＝sinαcosα·cosα－sinα＝－1.(2)原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1080°－150°)·cos(720°＋150°)＋tan(180°－60°)·tan(1080°－30°)＝－sin30°sin30°＋cos150°cos150°＋tan60°tan30°＝－14＋34＋1＝32.备选例题(教师用书独具)设f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.例【解析】∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.【答案】3变式训练1．化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．解：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin2mπ－αcos[2m－1π－α]sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝sin－αcosπ＋αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)，仿上可得，原式＝－1.综上，sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α＝－1.同角三角函数的基本关系式已知tanα＝2，求：(1)4sinα－2cosα5sinα＋3cosα的值；(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值．例2【解】(1)法一：∵tanα＝2，∴cosα≠0，∴4sinα－2cosα5sinα＋3cosα＝4sinαcosα－2cosαcosα5sinαcosα＋3cosαcosα＝4tanα－25tanα＋3＝4×2－25×2＋3＝613.法二：由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得4sinα－2cosα5sinα＋3cosα＝4×2cosα－2cosα5×2cosα＋3cosα＝6cosα13cosα＝613.(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝3sin2α＋3sinαcosα－2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋3tanα－2tan2α＋1＝3×22＋3×2－222＋1＝165.【题后感悟】已知角α的某一个三角函数值，可求角α的其他三角函数值.此时,若角α所在的象限是确定的,可直接求值;若角α所在的象限不明确，可先由角α的某一三角函数值的符号确定出角α所在的象限,再分类讨论求值．互动探究1．例2条件不变，求sin(α－2π)sin(α－π)－sin(5π2＋α)sin(3π2－α)的值．解：∵tanα＝2，∴sin(α－2π)sin(α－π)－sin(5π2＋α)sin(3π2－α)＝－sin2α＋cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝1－41＋4＝－35.备选例题(教师用书独具)已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ)，k∈Z.求14sin2θ＋25cos2θ的值．例【解】由已知得cos(θ＋kπ)≠0，∴tan(θ＋kπ)＝－2，k∈Z.即tanθ＝－2.14sin2θ＋25cos2θ＝14tan2θ＋25tan2θ＋1＝725.sinα±cosα与sinαcosα的关系已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15.(1)求sinAcosA的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．例3【解】(1)∵sinA＋cosA＝15，①∴两边平方得1＋2sinAcosA＝125，∴sinAcosA＝－1225.(2)由sinAcosA＝－12250，且0Aπ，可知cosA0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋2425＝4925，又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，∴sinA－cosA＝75.②∴由①，②可得sinA＝45，cosA＝－35，∴tanA＝sinAcosA＝45－35＝－43.【题后感悟】对于sinxcosx，sinx＋cosx，sinx－cosx借助平方关系可互相表示，也可知一求二，如令sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝t2－12，(sinα－cosα)2＝2－t2等．备选例题(教师用书独具)已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．求cos3π2－θ＋sin3π2－θ的值．例【解】由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.又sinθ＋cosθ＝asinθcosθ＝a，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，则a2－2a－1＝0，从而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.∴cos3π2－θ＋sin3π2－θ＝sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.变式训练3．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2＜α＜π，求sinα－cosα.解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23.将上式平方得：1＋2sinαcosα＝29，∴2sinαcosα＝－79.又π2＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－－79＝169，∴sinα－cosα＝43.方法技巧1．同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围判断符号，正确取舍．方法感悟2．三角求值、化简是三角函数的基础，求值与化简的常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝sinxcosx进行弦、切间的互化(如例2)；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·(1＋1tan2θ)＝tanπ4＝…(如例2)．注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．失误防范1．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号(如例1)，特别是在具体题目中出现类似kπ±α(k∈Z)的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定三角函数值的正负．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(如例3(3))．考向瞭望把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看，同角三角函数的基本关系和诱导公式中的π±α，π2±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档题．主要是诱导公式在三角函数式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，还注重考查等价转化的思想方法．预测2013年高考仍将以π±α，π2±α为主要考点，重点考查考生的运算能力与恒等变形能力．典例透析例(2011·高考大纲全国卷)已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝__________.【解析】∵tanα＝2，∴sinαcosα＝2，∴sinα＝2cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴2cosα2＋cos2α＝1，∴cos2α＝15.又∵α∈π，3π2，∴cosα＝－55.【答案】－55【得分技巧】解答本题利用同角三角函数的基本关系，转化为关于cosα的方程求解．【失分溯源】忽视角α的范围，求出cosα为两个值，在利用平方关系开方时一定要注意符号．