高考数学总复习 第三章第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例课件

第8课时正弦定理和余弦定理的应用举例教材回扣夯实双基基础梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线______的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．上方下方2．方位角：从正___方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．北思考探究仰角、俯角、方位角有何区别？提示：三者的参照位置不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．3．方向角：相对于某一正方向的角(如图③)．(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．课前热身1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的()A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏南30°答案：C2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°答案：D3．(2011·高考上海卷)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得ACsin60°＝2sin45°，∴AC＝222·32＝6.答案：64.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求河的宽度．在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河的宽度为60m.答案：60m考点探究讲练互动考点突破测量距离例1港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？【解】在△BDC中，由余弦定理知，cos∠CDB＝BD2＋CD2－BC22BD·CD＝－17，∴sin∠CDB＝437.∴sin∠ACD＝sin∠CDB－π3＝sin∠CDBcosπ3－cos∠CDBsinπ3＝5314.在△ACD中，由正弦定理知ADsin∠ACD＝CDsinA⇒AD＝5314×21÷32＝15.∴此时轮船距港口还有15海里．【题后感悟】求距离问题要注意：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．备选例题例已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.【解析】如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝6－1(另一解为负值舍掉)．【答案】6－1变式训练1.如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．解：连接AC.作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD＝500(米)，AD＝300(米)，∠CDA＝120°.在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD·cos120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002，∴AC＝700(米)．cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22·AC·AD＝1114.在Rt△HAO中，AH＝350(米)，cos∠HAO＝1114.∴OA＝AHcos∠HAO＝490011≈445(米)．测量高度例2测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB.【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝s·sin60°sin45°＝62s.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝62s·tan30°＝22s.【题后感悟】求解高度问题首先应分清：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．备选例题例海岛O上有一座海拔1km的小山，山顶设有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？【解】(1)如图，在Rt△AOB和Rt△AOC中，OB＝OAtan60°＝33，OC＝OAtan30°＝3.在△BOC中，由余弦定理得BC＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC＝393，∵由C到B用的时间为1060＝16(h)，∴该船的速度为39316＝239(km/h)．(2)在△OBC中，由余弦定理，得cos∠OBC＝BC2＋OB2－OC22BC·OB＝51326，∴sin∠OBC＝1－cos2∠OBC＝33926，∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB)＝sin∠OBE·cos∠EOB＋cos∠OBE·sin∠EOB＝1313，在△BEO中，由正弦定理得OE＝OB·sin∠EBOsin∠OEB＝32，BE＝OB·sin∠BOEsin∠OEB＝396，∴从B到E所需时间为396239＝112(h)，即所需时间为5min.即该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E离海岛O的距离是1.5km.测量角度例3如图位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．【解】如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝207.由正弦定理得，ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBCsin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.【题后感悟】(1)测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．(2)在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．备选例题例在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【解】设缉私船用th在D处追上走私船(如图)，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．方法技巧解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡角、仰角、俯角、方位角等．方法感悟(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要求算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．失误防范在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．考向瞭望把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的热点，一般以解答题的形式考查，主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考查．预测2013年高考仍将以利用正弦、余弦定理，解决与测量、几何计算有关的实际问题为主要考点，重点考查应用所学知识解决实际问题的能力．规范解答例(本题满分12分)(2010·高考福建卷)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【解】(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示．在△AOB中，A＝90°－30°＝60°，∴S＝900t2＋400－2·30t·20·cos60°＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300.4分故当t＝13时，Smin＝103，此时v＝10313＝303.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.6分(2)由题意可知OB＝vt.在△AOB中利用余弦定理得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos60°.故v2＝900－600t＋400t2.8分∵0＜v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23，又t＝23时，v＝30(海里/小时)．故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在△AOB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.12分【得分技巧】解答本题关键：一是利用余弦定理列出关于S和t的关系式，尽量转化为S关于t的函数，二是利用v≤30这一条件，构造关于t的不等关系，体现了函数与方程的转化与化归思想．【失分溯源】解答本题时有两点易造成失分：一是第(1)问转化为余弦定理后计算错误．二是不会构建v与t的函数关系式，不会利用条件解不等式．