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第十章统计、统计案例第十章统计、统计案例第1课时随机抽样教材回扣夯实双基基础梳理1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中________________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．逐个不放回(2)最常用的简单随机抽样的方法：________和____________．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体______．(2)确定__________，对编号进行______，当是整数时，取k＝.抽签法随机数法NnNn编号分段间隔k分段(3)在第1段用________________确定第一个个体编号l(l≤k)．(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号：______，再加k得到第3个个体编号：________，依次进行下去，直到获取整个样本．简单随机抽样l＋kl＋2k3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体______________的层，然后按照____________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．分成互不交叉一定的比例(2)分层抽样的应用范围：当总体是由__________的几个部分组成时,往往选用分层抽样．差异明显课前热身1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是()A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．1000名学生的成绩是一个个体D．样本的容量是100解析：选D.1000名学生的成绩是总体，其容量是1000,100名学生的成绩组成样本，其容量是100.2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是()A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都不是解析：选C.由所给的数据可以看出这种抽样方法为系统抽样．3．用随机数表法从100名学生(其中男生25人)中抽取20人进行评教，某男生被抽到的概率是________．解析：简单随机抽样时每个个体被抽到的概率相同．答案：154．(2011·高考湖北卷)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家．解析：由题意知，该市有超市200＋400＋1400＝2000(家)，抽样比为1002000＝120，∴中型超市应抽120×400＝20(家)．答案：20考点探究讲练互动考点突破简单随机抽样例1某大学为了支持校学生会组织的各项活动，决定从报名的30名老师志愿者中，选取10人组成志愿小组．请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．【解】抽签法：第一步：将30名志愿者编号，编号为1,2,3，…，30.第二步：将30个号码分别写在30张外观完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签．第三步：将30个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀．第四步：从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号．第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．随机数表法：第一步：将30名志愿者编号，编号为01,02,03，…，30.第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数．第三步：凡不在01～30中的数或已读过的数,都跳过去不作记录，依次记录下10个得数.第四步：找出号码与记录的数相同的志愿者组成志愿小组．【题后感悟】(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)随机数表中共随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．互动探究1．把本例中“30名志愿者”改为“1800名志愿者”，仍抽取10人，应如何进行抽样？解：因为总体数较大，若选用抽签法制签太麻烦，故应选用随机数表法．第一步：先将1800名志愿者编号，可以编为0001,0002，…，1800.第二步：在随机数表中任选一个数，例如选出第2行第5列的数2.第三步：从选定的数开始向右读，依次可得以0736,0751,0732,1355,1410,1256,0503,1557,1210,1421为样本的10个号码，这样我们就得到一个容量为10的样本．系统抽样(2010·高考湖北卷)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()例2A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9【解析】由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．【答案】B令3＋12(k－1)≤300得k≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300＜3＋12(k－1)≤495得1034k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知，选B.【题后感悟】解决系统抽样问题要掌握系统抽样的特点(1)元素个数多且均衡的总体；(2)各个个体被抽到的机会均等；(3)起始用简单随机抽样；(4)k＝(不整除剔出余数)．Nn备选例题从某厂生产的905辆家用轿车中随机抽取90辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．【解】可用系统抽样法进行抽样，抽样步骤如下：第一步，将905辆轿车用随机方式编号；例第二步，从总体中剔除5辆(剔除法可用随机数法)，将剩下的900辆轿车重新编号(分别为001,002，…，900)，并分成90段；第三步，在第一段001,002，…，010这十个号码中用简单随机抽样法抽出一个作为起始号码(如006)；第四步，把起始号码依次加间隔10，可获得样本．变式训练2．要从已编号(01～50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是()A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5D．2,4,8,16,32解析：选B.根据系统抽样的规则，0到9一段，10到19一段，如此类推，那么每一段上都应该有号码．(2011·高考山东卷)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．分层抽样例3【解析】抽样比为40150＋150＋400＋300＝4100，因此从丙专业应抽取4100×400＝16(人)．【答案】16【题后感悟】分层抽样适用于总体是由差异明显的几部分组成的情况，这样更能反映总体的情况，是等可能抽样．当各层抽取的个体数目确定后，每层中的样本抽取可用简单随机抽样或系统抽样的方法．用分层抽样法抽样的关键是确定抽样比，抽样比＝＝.用抽样比乘以该层的个体数等于在该层中抽取的个体数．样本容量总体中的个体数每层抽取的个体数该层的个体数备选例题某政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解职工对政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．例【解】因机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样的方法为妥．∵10020＝5，105＝2，705＝14，205＝4，∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．因副处级以上干部与工人人数都较少，把他们分别按1～10编号与1～20编号，然后制作号签，采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．变式训练3．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检验这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则二车间生产的产品数为()A．800B．1000C．1200D．1500解析：选C.因为a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×13＝1200.方法技巧三种抽样方法的比较方法感悟类别各自特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取最基本的抽样方法总体中的个体数较少抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等类别各自特点相互联系适用范围共同点系统抽样将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个体数较多抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等类别各自特点相互联系适用范围共同点分层抽样将总体分成几层，按各层个体数之比抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等失误防范进行分层抽样时应注意几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样考向瞭望把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看，分层抽样是高考的热点，题型既有选择题也有填空题，分值占5分左右，属容易题．命题时多以现实生活为背景，主要考查基本概念及简单计算．预测2013年高考，分层抽样仍是考查的重点，同时应加强对系统抽样的复习．(本题满分12分)(2010·高考广东卷)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：规范解答例文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．【解】(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的.3分(2)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5＝35×5＝3(名).6分(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁的有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁的有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.9分设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，11分故所求概率为P(A)＝610＝35.12分【得分技巧】解答本题的关键是求概率时正确列出基本事件．【失分溯源】解答本题的失分点：一是通过表格分析时得到收看新闻节目的观众与年龄无关而错误；二是在用列举法写出不同取法时容易漏，而使求得的概率不准．解决分层抽样问题时，以下两点易造成失分：(1)分层时不明确有几层；(2)计算比例时找不准比例关系，出现计算错误．