第四章 向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性第三节向量组的秩第四节线性方程组的解的结构第五节向量空间结束第一节向量组及其线性组合(vectorsanditslinearcombination)一、n维向量二、向量组及其线性组合三、小结结束定义1.,,,21个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为所组成的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、n维向量1、n维向量的概念：结束例如),,3,2,1(n))1(,,32,21(inniin维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量结束),,,(21nTaaaanaaaa21维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：TTTTba,,,n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,,,ban2、n维向量的表示方法结束注意1)行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；2)行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；3)当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.结束向量)3(n解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式),,,(21nTaaaa坐标系3、向量空间(vectorspace)结束空间)3(n解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面dczbyaxzyxrT),,(几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面dczbyaxzyx),,(),,(zyxP),,(zyxrT一一对应结束RxxxxxxxRnnnT,,,),,,(2121bxaxaxaxxxxnnnT221121),,,(叫做维向量空间．n时，维向量没有直观的几何形象．n3n叫做维向量空间中的维超平面．Rnn1n结束若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如维列向量个有矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2an二、向量组及其线性组合a2ajana1a2ajan结束维行向量个又有矩阵类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tm结束反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.12,,,,mmnnm个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个nmnmTmTT,,,21TmTTB21),,,(21mA结束bxaxaxann2211线性方程组的向量表示.,,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．结束，，，组实数，对于任何一给定向量组mmkkkA,,,,:2121定义2.,21个线性组合的系数称为这，，mkkk，称为向量组的一个向量2211mmkkk线性组合(Linearcombination)结束1122mmb，使，，一组数如果存在和向量给定向量组mmbA,,,,,:2121.2211有解即线性方程组bxxxmm的线性组合，这时称是向量组则向量Ab向量能由向量组线性表示．bA由上章定理5知：结束.),,(),(2121的秩，，的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量bBAAbmm定理1定义3..,,,:,,,:2121这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组BAABBAsm向量组能由向量组线性表示向量组等价．BA结束使在数存量线性表示，即对每个向能由（和（若记,,,),,2,1().,,,),,,212121mjjjjsmkkksjbABbbbBAmmjjjjkkkb2211,),,,2121mjjjmkkk（结束),,,21sbbb（从而msmmssmkkkkkkkkk21222211121121),,,（.)(数矩阵称为这一线性表示的系矩阵ijsmkK结束矩阵：为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若BACBACnssmnmsnssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),,,),,,（（结束TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa2121222211121121：为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组能由同时，ABC,结束..的行向量组等价的行向量组与于是的行向量组线性表示，的行向量组能由可知，由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是的每个行，则经初等行变换变成设矩阵BABAABABBA.的列向量组等价列向量组与的，则经初等列变换变成类似，若矩阵BABA结束.价的方程组一定同解这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称与方程组的解；若方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组能由方程组称方程组的线性组合，就的每个方程都是方程组程组的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组所得到的的各个方程做线性运算对方程组BABAABABAA结束按定义3，向量组能由向量组线性表示，其含义是存在矩阵使得lbbbB,,,:21maaaA,,,:21lmK）（lbbb,,,21lmmKaaa),,,(21也就是矩阵方程Xaaam),,,(21）（lbbb,,,21有解。由上章定理6可得：结束定理2),()(.),,,(),(),(,,,:,,:11212121BARARbbBAAAbbbBlmmml即的秩，的秩等于矩阵，，件是矩阵线性表示的充分必要条能由向量组向量组).,()()(,,,:,,:2121BABRARAbbbBml等价的充分必要条件是与向量组向量组推论结束。线性表示，并求表示式能由向量组证明向量设例321321,,,1301,0411,3121,22111aaabbaaa123:(,,),(,)()()AaaaBAbRARB分析设，只需证即可。123(,)(,,)Abaaaxb将作初等行变换化成行最简形即可，再求的通解即可求出表示式。结束12123121231321311011,,,,,1110213120,,,aabbbaabbb例2设证明向量组与向量组等价。分析：12123(,),(,,)AaaBbbb设()()(,)RARBRAB则只需证结束1212112:,,,:,,,(,,)(,,,).lmlmBbbbAaaaRbbRaaa定理3：设向量组能由向量组线性表示，则1212:,,,:,,,lmBbbbAaaaKBAKAXB向量组能由向量组线性表示存在矩阵，使得。方程有解。向量组与矩阵的对应：结束1212:,,,(,,,),mmnAaaanmAaaa维向量组构成矩阵().nARAn证明维单位坐标向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是例3nE阶单位矩阵12(,,,)neee的列向量叫作n维单位坐标向量(unitcoordinatevectors)12,,,()(,).neeeARARAE证：向量组能由向量组线性表示的充要条件是(,)(),(,),RAEREnRAEn而(,)().RAEnRAn故，即结束().nmnAXERAn方程有解的充要条件是本例用方程的语言可描述为：本例用矩阵的语言可描述为：,,().mnnmmAQAQERAm对矩阵存在矩阵使的充分必要条件是,,().mnnmnAPPAERAn对矩阵存在矩阵使的充分必要条件是结束２．向量的表示方法：行向量与列向量；３．向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；４．向量在生产实践与科学研究中的广泛应用;三、小结１．维向量的概念，实向量、复向量；n5.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念.结束第二节向量组的线性相关性一、线性相关性的概念二、线性相关性的判定三、小结结束0,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使全为零的数如果存在不给定向量组注意.0,0,,,,1.2211121成立才有时则只有当线性无关若nnnn.,2.性无关就是线性相关不是线对于任一向量组定义4一、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．A(linearindependence)(lineardependence)结束.,0,0,3.线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量.4.组是线性相关的包含零向量的任何向量.,.5量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向结束结论向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,212mm,,,211m证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.maaa,,,21ma即有112211mmma二、线性相关性的判定结束故01112211mmma因这个数不全为0，1,,,,121mm故线性相关.m,,,21必要性设线性相关，m,,,21则有不全为0的数使,,,,21mkkk.02211mmkkk结束因中至少有一个不为0，mkkk,,,21不妨设则有,01k.13132121mmkkkkkk即能由其余向量线性表示.1证毕.结束.性独立）线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多是其余方程的线性组若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用).,,(.0A,0212211mmmAxxxxA其中有非零解即方程组线性相关就是齐次线性向量组结论结束.)(;),,,(,,,2121mARmAmm必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数的秩小矩阵条件是它所构成的线性相关的充分必要向量组定理4下面举例说明定理的应用.证明（略）结束维向量组nTnT