设计必修五课堂讲义2-5-1

预习导学预习导学课堂讲义第二章数列高中数学·必修5·人教A版2.5等比数列的前n项和(一)预习导学预习导学课堂讲义第二章数列[学习目标]1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．预习导学预习导学课堂讲义第二章数列[知识链接]1．求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列{an}，当q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？答由Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.所以Sn＝a11－qn1－q.预习导学预习导学课堂讲义第二章数列2．在等比数列{an}中，若q≠1，则有a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q.由等比性质，得a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，至此你能用a1和q表示出Sn吗？答由a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，得Sn－a1Sn－an＝q，于是Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.预习导学预习导学课堂讲义第二章数列[预习导引]1．等比数列前n项和公式(1)公式：Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1q＝1.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．na1预习导学预习导学课堂讲义第二章数列2．等比数列前n项和公式的变式若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝a11－q(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝a1q－1.3．错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．错位相减课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列要点一等比数列前n项和公式的基本运算例1在等比数列{an}中，(1)若q＝2，S4＝1，求S8；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列解(1)法一设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴a11－241－2＝1，即a1＝115，∴S8＝a11－q81－q＝1151－281－2＝17.法二∵S4＝a11－q41－q＝1，且q＝2，∴S8＝a11－q81－q＝a11－q41－q(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，即a11＋q2＝10，①a1q31＋q2＝54②∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即q＝12，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×123＝1，S5＝a11－q51－q＝8×[1－125]1－12＝312.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列规律方法(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量；这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列跟踪演练1(2013·北京卷)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.答案22n＋1－2解析设等比数列{an}的公比为q，因为a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，所以a1q＋a1q3＝20，a1q2＋a1q4＝40.解得a1＝2，q＝2.所以Sn＝a1qn－1q－1＝2×2n－12－1＝2n＋1－2.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列要点二错位相减法求和例2求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．解分x＝1和x≠1两种情况．当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝x1－xn1－x－nxn＋1.∴Sn＝x1－xn1－x2－nxn＋11－x.综上可得Sn＝nn＋12x＝1，x1－xn1－x2－nxn＋11－xx≠1且x≠0.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列规律方法一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列跟踪演练2求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．解(1)当a＝0时，Sn＝1.(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，则Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2.(3)当a≠1且a≠0时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·a1－an－11－a＝1－(2n－1)an＋2a－an1－a，又1－a≠0，∴Sn＝1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列综上，Sn＝1a＝0，n2a＝1，1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2a≠0且a≠1.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列要点三等比数列前n项和的实际应用例3借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)解一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1739.故每月应支付1739元．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列规律方法解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列跟踪演练3一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝45an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝45的等比数列．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a11－qn1－q＝25×1－45n1－45＝125×1－45n125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列要点四等比数列Sn的综合应用例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列解(1)由已知得a1＋a2＋a3＝7，a1＋3＋a3＋42＝3a2，解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝2q，a3＝2q，又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝12.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝nb1＋bn2＝3nn＋12·ln2.故Tn＝3nn＋12ln2.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列规律方法(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列跟踪演练4已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，已知1是12S2和13S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项．(1)求S2和S3；(2)求此数列{an}的前n项和公式；(3)求数列{Sn}的前n项和．课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列解(1)根据已知条件12S2＋13S3＝2，2S23S3＝36.整理得3S2＋2S3＝12，3S22S3＝36.解得3S2＝2S3＝6，即S2＝2，S3＝3.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列(2)∵q≠1，则a11＋q＝2，a11＋q＋q2＝3.可解得q＝－12，a1＝4.∴Sn＝41－－12n1＋12＝83－83－12n.课堂讲义预习导学课堂讲义第二章数列(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn＝83n－83×－121－－12n1－－12＝83n＋891－－12n.预习导学预习导学课堂讲义第二章数列再见